大学物理：第4章 刚体力学

一、刚体变化的物体。何状和大小都不会发生任定义：任何情况下，形式二、刚体运动的基本形平动：.1运动称平动。方向始终保持平行，此的空间刚体上任意两点的连线定义：在运动过程中，ABABA B 转动：.2oo作圆周运动线刚体上各点都绕同一直转动：在运动过程中，固定不动，称定轴转动如转轴相对所选参照系刚体运动平动转动述三、刚体定轴转动的描本特征：刚体作定轴转动时的基圆周运动。于固定转轴的平面内作刚体上各质点都在垂直.1内转过的角度相同。运动的半径在相同时间点作圆周对位置不变，所以各质由于刚体上各点间的相.2速度角位移、角速度、角加同的刚体中所有质点具有相rv表示刚体角速度用矢量：右手螺旋法则。方向与转动方向的关系对刚体上任一质点有dtd角加速度：rrvvrv2siniFziinFiF所受的力矩：一、刚体作定轴转动时 iiiFrM力的切向分量）大小：:sin(sin iiiiiiiiizFFFrFrM向上方向：右手螺旋，图中|.2FFF和分解为不在转动平面内，将其外力在转动平面内：外力F.1体转动不起作用；平行于转轴的力，对刚:|F转动平面内），其力矩垂直于转轴的力（即在:FFrM轴负向为负沿轴正向为正；沿规定：ZMZM:iro力的作用点相对于转动平面 与转轴交点 的位置矢量。ooiFifiiimir定轴二、刚体转动定理：用牛顿第二定律：对质点iiiiiamfFiiiiiniininamfFamfF切向：法向：法向力对轴的力矩为零iiiiiramrfF）（2sinsiniii iii ii iMFrfrmr即：对整个刚体：niiiniiiiniiiirmrfrF1211)(sinsin：力对转轴的力矩和为零由牛顿第三定律知，内0sin1niiiirf则，刚体所受合外力矩：niiiniiiirmrFM121)(sinniiirmI12定义转动惯量：MI刚体定轴转动定理注：转动惯量也可用注：转动惯量也可用J表示；表示；角加速度也可用角加速度也可用 表示。表示。IM 刚体转动惯性三、转动惯量I1m2moo1r2rimiroodmr.1IM分离质点：.2niiirmI123.质量连续分布dmrdIdm2 小质元dmrI2 则取决于三个因素：转轴位置的分布；的大小；.3 .2 .1mm注：转动惯量也可用注：转动惯量也可用J表示；表示；角加速度也可用角加速度也可用 表示。表示。frdrdm2元：在圆盘上取小圆环为质解：先求摩擦力矩：drgrrdrgrdM222所受摩擦力矩为RdrrgdMM0223312RgRRg32)(2Rmg32OR00211()2mROImR例：均匀薄圆盘质量为，半径为，在桌面上转动,转轴为（如图），圆盘与水平桌面的摩擦系数为，问角速度由到停止转动，圆盘共转过多少圈？经过多少时间？圆薄盘的转动惯量rodrIM 根据转动定理：IMRgmRRmg34)2(3222202由0gRgR834322202020gRn163220t0又0tRg3400gRt430ZF一、力矩作功的元功：力FsdFdAsdFsdFsdFZntsdFnsdFZdsFtrdFtdrFt)(MdMddA 为正；否则为负。同向，与dAdM位置，外力矩作功：当刚体由2121MddAA积累）效应。力矩的角积累（空间功为恒力矩若M221121()AMdMdM二、刚体的转动动能22211 22ikiiii imEmvm r：22211 22kkii iEEm rI总转动动能：三、刚体转动动能定理dIddtdIMddA122122)(22121kkEEIdIMddAA能的增量矩作功等于刚体转动动在定轴转动中，合外力四、刚体的重力势能的重力势能为其质量集中于质心点体的重力势能刚体有一质量中心，刚XYZiZCZCimOCPmgZE 刚体的定轴转动等，都可以方便地用于原理、机械能守恒定律关于一般质点组的功能动量定理一、刚体定轴转动的角dtdIIM刚体定轴转动定理：固定IdtIdM）（dtdLooirivimiiiiiiiiiiivmrvrmrrmrmI)(2）（即：IdMdt221121ILILtt刚体对固定轴的角动量时间内，122121IIIdMdttt）（微分形式积分形式律二、刚体角动量守恒定dtIdM）（dtdL0M恒量IL讨论：保持不变。度角动量守恒表现为角速一定，体，转动惯量对于一个定轴转动的刚I.1仍可以转很久。矩切断电源后，忽略阻力例：高速转动的砂轮，恒量时，单个刚体，当IM0.22211 IIII，但，或者，推广到非刚体，则有、滑冰、跳水生活中的例子：芭蕾舞恒量则如果外 2211 ,0iiiiiIIM轴转动）几个物体系统作同轴定系统(.3OIII人）转动惯量：解：（12iiOrmI哑铃的转动惯量：222222221136.03.022296.17.0222kgmmrIkgmmrIOO两手靠拢时：两手伸开时：守恒，有：动量轴的力矩为零，所以角支持力）作用，但对转、统虽然受到外力（重力当人把哑铃靠拢时，系2211)()(OOIIII人人21/2140601.5/12skgcmcms例：一个人站在无摩擦的旋转平台的中央，平台以 周的转速旋转，这时他的双臂是伸开，并且双手都握着质量为的哑铃，两手上的哑铃相距为，当人把哑铃靠近到距离为时，平台的转速增为周。求：（）人的转动惯量（设为恒量）（）人使哑铃靠近后，系统的转动动能增加多少？122211OOIII人)(2)(2122211nnnInIOO284.215.15.136.0196.1kgm211222)(21)(21)2(OOKIIIIE人人)()(22112222nIInIIOO人人J3.471)96.184.2(5.1)36.084.2(14.3222mgmg51成的系统。研究对象为棒与铅球组解：（方法一）dmgllmgMddAd)sin51sin2(时重力矩作元功：系统转过角度2315(1)3mmlIml例：将一条质量为 的细金属棒竖直立地，然后在它的端点再装上一个质量为的铅球（半径可忽略），如图。现因极微小的扰动棒自己倒下，由于接触地面处有足够的摩擦力，倒下的过程中棒与地面的接触点不发生滑动。已知棒长 金属棒对接触点处水平轴的转动惯量为。求棒即将着地时顶端的铅球的速率是多少？又因为系统转动惯量着地时角速度为角速度设系统在竖直位置时的,002221585131mlmlmlIII铅球棒2201122AMdII根据转动动能定理有222/0)158(21)sin51sin2(mldmgllmg即：2230852mllmglmglg821821gllv铅球的速率：重力势能零点。机械能守恒。取地面为只有重力作功，故系统中究对象。在棒倒下过程和地球组成的系统为研（方法二）以棒、铅球521lmglmgE初态：22221 11 1()()2 32 5Emlm v末态：2221 11 1()()252 32 5llmgmgmlm v根据机械能守恒定律有：2222101)(61107mvlvmlmgl821glv 得：OM231145,113152 1013mkglmOImlmkN mMkgrad s 例：质量长度的细金属棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴 无摩擦地转动（转动惯量），在细金属棒的另一端再装上一个质量为的半径可以忽略的小铅球，使两者组成刚体。先把刚体拉到水平位置，然后由静止状态释放，到达最低点时对心撞击一与弹簧（劲度系数）相连，质量的钢块，碰后刚体的角速度（沿原运动方向），而钢块沿水平光滑地面滑行，致使弹簧压缩，求弹簧的压缩量。解：解：可分成三个过程求的角速度为设刚体摆至竖直位置时守恒。竖直位置过程，机械能）刚体由水平位置摆至（122152Ilmglmg2221585131mlmlmlI其中lg821得量守恒。，刚体与钢块系统角动）刚体与钢块碰撞过程（2ImvlI)/(6.5smmlIIv求得钢块速度的过程，机械能守恒。）碰撞后钢块压缩弹簧（3222121kxMv)(125.02mkMvx解得弹簧压缩量：质点动力学刚体力学（定轴转动）avrr加速度：速度：位移：位置矢量：描写运动的基本量：角加速度：角速度：角位移：角位置：描写转动的基本量：m质量：描述惯性的量：dmrIrmIIii22刚体质量连续分布：刚体由分离质点组成时转动惯量：描述转动惯性的量：学的比较质点动力学与刚体动力F力：改变运动状态的量：质点动力学刚体力学（定轴转动）FrM力矩：改变转动状态的量：BAPPbaabEEAsdFAFSAA保守力的功：变力的功：恒力的功：力的功：cos21)(12MdAMAA变力矩的功：恒力矩的功：力矩的功：2221rMmGEkxEmghEPPP引力势能：弹性势能：重力势能：势能：为质心坐标）（重力势能：CCPzmgzE 质点动力学刚体力学（定轴转动）221mvEK平动动能：221IEK转动动能：vmp动量：（对某一参考点）角动量：vmrL（对定轴）角动量：IL 21ttdtFI冲量：21ttMdtI冲量矩：amdtvmdF)(牛顿第二定律：力的瞬时作用规律：IM 转动定律：力矩的瞬时作用规律：质点动力学刚体力学（定轴转动）恒量当机械能守恒定律：功能原理：质点组：质点：动能定理：律：力对空间的积累作用规非保内外非保内外非保内保内外pkpkpkkkkkababEEEAAEEEEEEAAEEAAAEEmvmvAab0)()(212100002221222121IIMdA转动动能定理：规律：力矩对空间的积累作用恒矢量时，当角动量守恒定律：角动量定理：恒矢量时，当恒矢量时，当动量守恒定律：动量定理：律：力对时间的积累作用规某分量某分量vmrLMdtLdMmvFvmFmvmvdtFii00012规律：力矩对时间的积累作用恒矢量时，对系统，当恒矢量时，对刚体，当角动量守恒定律：角动量定理：iittILMILMIIdtM001221刚体力学（定轴转动）质点动力学