（名师导学）2020版高考数学总复习 第十章 直线与圆、圆锥曲线 第72讲 定点、定值和探索性问题练习 理（含解析）新人教A版

第72讲定点、定值和探索性问题夯实基础【p163】【学习目标】掌握与圆锥曲线有关的定点问题、定值问题的求解方法；会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的探究问题，培养推理思维能力、运算能力【基础检测】1若曲线C：x2xy10(R)恒过定点P，则点P的坐标是()A(0，1)B(1，1)C(1，0)D(1，1)【解析】由原曲线方程可得(x1)(yx2)0过定点，则求得即定点P的坐标为(1，1)【答案】D2已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2y2(为正常数)上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|MN|的值为()A.B.CD无法确定【解析】设M(m，n)，即有m2n2，双曲线的渐近线为yx，可得|MN|，由勾股定理可得|ON|，可得|ON|MN|.【答案】B3已知抛物线y24x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D，设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则_【解析】设直线AB的方程为yk1(x2)，联立得k1y24y8k10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AC的方程为y(x1)，联立得y2y0，则y1yC4，故yC，同理yD，故k22k1，故.【答案】4在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点如果4，则直线l必过定点_【解析】设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2，0)【答案】(2，0)【知识要点】1求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关典例剖析【p163】考点1圆锥曲线中的定点问题已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上第一象限内的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1.过A点作抛物线C的两条动弦AD，AE，且AD，AE的斜率满足kADkAE2.(1)求抛物线C的方程；(2)直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由【解析】(1)设抛物线方程为C：y22px(p0)，由其定义知|AF|1，又|AF|2，所以p2，y24x.(2)易知A(1，2)，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，DE方程为xmyn(m0)，把DE方程代入C，并整理得y24my4n0，16(m2n)0，y1y24m，y1y24n，由kADkAE2及y4x1，y4x2得y1y22(y1y2)4，所以n2m1，代入DE方程得：xmy2m1，即(y2)mx1，故直线DE过定点(1，2)【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关考点2圆锥曲线中的定值问题已知椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，点P为椭圆C上任一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点.(1)求椭圆的方程；(2)若PB，PA交直线x1于M，N两点，过左焦点F作以MN为直径的圆的切线问切线长是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由【解析】(1)设P点坐标为P(x0，y0)，由题意知A(a，0)，B(a，0)，且1，则kPAkPB，即3a24b2，又因为椭圆经过点.故1，由可知，b23，a24，故椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知A(2，0)，B(2，0)，设kPAk(k0)，由kkPB，得kPB.所以直线PB的方程为y(x2)，令x1，则y，故M；又直线PA方程为yk(x2)，令x1，则yk，故N(1，k)如图，因为yMyNk0，故以MN为直径的圆在x轴同侧设FT为圆的一条切线，切点为T，连结MT，NT，可知FTNFMT，故，则|FT|2|FM|FN|k|，故|FT|.故过左焦点F作以MN为直径的圆的切线长为定值.【点评】定值问题的求解策略：在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值考点3圆锥曲线中的探索性问题已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，点A(b，0)，点B，F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|BA|2.(1)求椭圆C的方程；(2)若过定点M(0，2)的直线C与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围？如果不存在，请说明理由【解析】(1)设椭圆焦距为2c，依题意，e得a2c，由|BF|BA|2得a2，即ab2，又a2b2c2，由可得a24，b23，椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2(k0)，由消去y得(34k2)x216kx40，由0解得k，设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1x2，(x1x22m，k(x1x2)4)，(x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)，由于菱形对角线垂直，则()0，(1k2)(x1x2)4k2m0，解得m，即m，k，m0(当且仅当4k时等号成立)所以存在满足条件的实数m，m的取值范围是m0，解得k0或0k0)，过点M(p，0)的直线l与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1k2()A1B2C2D不确定【解析】设l的方程为xmyp，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y22pmy2p20，y1y22p2，又(y1y2)24p2x1x2x1x2p2，k1k22.【答案】C3已知抛物线x28y，过点P(b，4)作该抛物线的切线PA，PB，切点为A，B，若直线AB恒过定点，则该定点为()A(4，0) B(3，2) C(0，4) D(4，1)【解析】设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，y，y，PA，PB的方程为yy1(xx1)，yy2(xx2)，由y1，y2，可得yxy1，yxy2，切线PA，PB都过点P(b，4)，4by1，4by2，故可知过A，B两点的直线方程为4xy，当x0时，y4，直线AB恒过定点(0，4)【答案】C4抛物线y24x上两个不同的点A，B，满足OAOB，则直线AB一定过定点，此定点坐标为_【解析】设直线l的方程为xtyb代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b，(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b0，b0(舍去)或b4，故直线l过定点(4，0)【答案】(4，0)5如图，椭圆C：1(a2)，圆O：x2y2a24，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M、N两点，若|PF1|PF2|6，则|PM|PN|的值为_【解析】|PM|PN|(R)R2a24，a22.故|PN|6.【答案】66已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切(1)求椭圆C的方程；(2)设P(4，0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴交于定点Q.【解析】(1)由题意知e，所以e2，即a2b2.又因b，所以a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为yk(x4)由得(4k23)x232k2x64k2120.设点B(x1，y1)，E(x2，y2)，则A(x1，y1)直线AE的方程为yy2(xx2)令y0，得xx2.将y1k(x14)，y2k(x24)代入，整理，得x，由得x1x2，x1x2，代入，整理，得x1.所以直线AE与x轴相交于定点Q(1，0)7已知动圆E经过定点D(1，0)，且与直线x1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设过点P(1，2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值【解析】(1)由已知，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y24x.(2)由题意可知直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为yk(x1)2，k0.所以直线l2的方程为yk(x1)2，由得k2x2(2k24k4)x(k2)20，已知此方程一个根为1，x11，即x1，同理x2，x1x2，x1x2，y1y2k(x11)2k(x21)2k(x1x2)2kk2k，kAB1，所以，直线AB的斜率为定值1.B组题1圆的某些性质可以类比到椭圆和双曲线中已知命题“直线l与圆x2y2t2交于A，B两点，AB的中点为M，若直线AB和OM(O为坐标原点)的斜率均存在，则kABkOM1”类比到椭圆1(ab0)中有命题“直线l与椭圆1(ab0)交于A，B两点，AB的中点为M，若直线AB和OM(O为坐标原点)的斜率均存在，则kABkOM_”【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点在椭圆上，故1，1，两式相减可得0，整理可得0，方程两边同时除以(x1x2)(x1x2)整理可得0，因为kAB，kOM，代入上式，整理可得kABkOM.【答案】2已知抛物线C：y22x，过点(1，0)任作一条直线和抛物线C交于A，B两点，设点G(2，0)，连接AG，BG并延长，分别和抛物线C交于点A和B，则直线AB过定点_【解析】设AG方程为：xmy2，代入抛物线C：y22x得：y22my40.设A(x1，y1)，A(x2，y2)，则y1y24，同理：B(x3，y3)，B(x4，y4)，y3y44，又AB过定点M(1，0)，与共线，(x11)y3(x31)y10，y3y10，即(y1y3)0，y1y32，又y1y24，y3y44，y2y48.当直线AB斜率存在时，直线AB斜率存在，直线AB：yy2(xx2)，利用点在抛物线上化简得：y(2xy2y4)，y(2x8)，直线AB过定点(4，0)当ABx轴时，可设A(1，)，B(1，)，得A(4，2)，B(4，2)，此时直线AB过定点(4，0)故直线AB过定点(4，0)【答案】(4，0)3已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为yx，右焦点F(5，0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点(不同于A1，A2)，直线A1P，A2P分别与直线l：x交于M，N两点(1)求双曲线的方程(2)证明为定值【解析】(1)依题意可设双曲线方程为：1(a0，b0)，则由解得所求双曲线方程为1.(2)由(1)知A1(3，0)，A2(3，0)，F(5，0)，设P(x，y)，M，(x3，y)，A1、P、M三点共线，(x3)y0y0，y0，即M，同理得N，则，1，0，即0(定值)4已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x4分别交于M，N两点是否存在点P使得以MN为直径的圆经过点D(2，0)？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由【解析】(1)由已知|AB|2，得知2b2，b1，又因为离心率为，所以.因为a2b2c2，所以a2，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)假设存在设P(x0，y0)，M(4，m)，N(4，n)，由已知可得A(0，1)，B(0，1)，所以AP的直线方程为yx1，BP的直线方程为yx1，令x4，分别可得m1，n1，所以|MN|mn|，线段MN的中点，若以MN为直径的圆经过点D(2，0)，则(42)2，因为点P在椭圆上，所以y1，代入化简得10，所以x08，而x02，2，矛盾，所以这样的点P不存在.备课札记12