《因素方差分析》PPT课件

第八章第八章 单因素方差分析单因素方差分析引言、单因素方差分析的概念引言、单因素方差分析的概念 前面我们学习了单样本和双样本的显著性检验方法。在前面我们学习了单样本和双样本的显著性检验方法。在科研活动中，有很多情况是要检验的不止两个样本，比如：科研活动中，有很多情况是要检验的不止两个样本，比如：例例8.1 某学者培育了一个小麦新品种，为了掌握该新品种与某学者培育了一个小麦新品种，为了掌握该新品种与现有其他现有其他4个品种的株高之间是否有显著差异，做了个品种的株高之间是否有显著差异，做了5个品种个品种的比较试验，结果见表的比较试验，结果见表8-1，问，问5个小麦品种间是否有差异？个小麦品种间是否有差异？正确的检验结果正确的检验结果是差异显著。是差异显著。假如我们用一对一的假如我们用一对一的 t 检验检验，共需检验共需检验 对对 。1025=C 假设每一对检验接受零假设的概率都是假设每一对检验接受零假设的概率都是1-，而且，而且这些检验都是独立的，这些检验都是独立的，那么那么10对接受的概率（对接受的概率（0.95)10，显然，犯显然，犯型错误的概率明显增加。型错误的概率明显增加。那么，如何解决这类问题的检验呢？最好的方法就是那么，如何解决这类问题的检验呢？最好的方法就是今天所讲的今天所讲的方差分析方差分析。R.A.Fisher（1928）创造出）创造出方差分析方差分析方法（方法（analysis variance，ANOVA），也就是前面我们所学的），也就是前面我们所学的F检验检验。方差。方差分析为一类特定情况下的统计假设检验，它是两样本平均数分析为一类特定情况下的统计假设检验，它是两样本平均数差异显著性检验的一种延伸。差异显著性检验的一种延伸。对于一个因素不同处理间的对于一个因素不同处理间的F检验，我们称作单因素方差分析检验，我们称作单因素方差分析(One-way ANOVA)。方差分析与方差分析与t检验的区别：检验的区别：t检验检验判断两组数据判断两组数据平均数间的差异显著性；方差分析平均数间的差异显著性；方差分析可同时可同时判断多组数据判断多组数据平均数间的差异显著性。平均数间的差异显著性。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。造成观测值不同的原因是多方面的，有的是处理不同引起的，处理效应或条件变异，有的是试验过程中偶然性因素的干扰和测量误差所致，既试验误差。方差分析的基本思想是将测量数据的总变异按照变异原因不同分解为处理效应和试验误差，并作出其数量估计。通过方差比较以确定各种原因在总变异中所占的重要程度，即用处理效应和试验误差在一定意义下进行比较，如二者相差不大，说明试验处理对指标影响不大，如二者相差较大，处理效应比试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。从而作为统计推断。方差分析的基本原理（一）平方和的分解（一）平方和的分解 一、平方和的分解与自由度的分解一、平方和的分解与自由度的分解=njijixx1.1iixnx=(i=1,2,3,，a)=ainjijxx11.1xanx=“.”表示对一个下标的表示对一个下标的和和 可验证如下可验证如下3 3定理：定理：=aniijxx1.0)(=ajixx1.0)(=ainjiijxx11.0)(.xxij.xxxxiiij=)()(.xxxxiiij=ainjijxx112.)(211.)()(=ainjiiijxxxx=ainjiijxx112.)(=ainjiiijxxxx11.)(2=ainjixx112.)(0)(11.=ainjiijxx因为：0)(211.=ainjiiijxxxx所以：=ainjijxx112.)(由此，=ainjiijxx112.)(=ainjixx112.)(这就是平方和的可分割性，即：这就是平方和的可分割性，即：总变异平方和总变异平方和=误差变异平方和误差变异平方和+处理变异平方和处理变异平方和=ainjijTxxSS112.)(=aiiAxxnSS12.)(ATeSSSSSS=用用SST表示总平方和表示总平方和:用用SSA表示处理平方和：表示处理平方和：用用SSe表示误差平方和：表示误差平方和：（二）自由度的分解（二）自由度的分解 一、平方和的分解与自由度的分解一、平方和的分解与自由度的分解如平方和的最后分割公式：如平方和的最后分割公式：因为在计算平方和时，资料中的全部数据受到一个条因为在计算平方和时，资料中的全部数据受到一个条件限制，即件限制，即=aniijxx1.0)(，所以总自由度应等于数据，所以总自由度应等于数据 总个数减去总个数减去1，即：，即：1=andfT 对于样本间的自由对于样本间的自由dfA而言，由于用而言，由于用 计算样本间平方计算样本间平方和时，和时，也受到一个条件限制，即也受到一个条件限制，即 ，所以，所以样本间的自由度为样本总数减去样本间的自由度为样本总数减去1，即：，即：。.ix.ix=ajixx1.0)(1=adfA 对于样本内的自由度对于样本内的自由度dfe而言，由于在计算样本内平而言，由于在计算样本内平方和时，要受到方和时，要受到a个条件限制，即：个条件限制，即：，所，所以样本内的自由度就等于数据总个数减去样本总数，即：以样本内的自由度就等于数据总个数减去样本总数，即：。=ainjiijxx11.0)()1(=naaandfe那么，总自由度的分割为：那么，总自由度的分割为：eATdfdfnaaandf=)1()1(1为了估计为了估计2，用用SSe除以相应的自由度得误差均方除以相应的自由度得误差均方MSe：aanSSMSee=用用SSA除以相应的自由度得处理均方除以相应的自由度得处理均方MSA：1=aSSMSAA二、效应模型及其均方期望二、效应模型及其均方期望（一）固定效应模型与随机效应模型的概念（一）固定效应模型与随机效应模型的概念 对于单因素方差分析而言，常用如下线性统计模型对于单因素方差分析而言，常用如下线性统计模型（linear statistical model）描述每一观测值：）描述每一观测值：ijiijx=njai,2,1,2,1式中：式中：xij第第i处理（水平）下的第处理（水平）下的第j次观测值；次观测值；所有观测值的总平均数；所有观测值的总平均数；i第第i次处理效应；次处理效应；ij随机误差成分。随机误差成分。方差分析的目的就是要检验处理效应的有无。要求模方差分析的目的就是要检验处理效应的有无。要求模型中的随机误差成分型中的随机误差成分ij服从正态分布服从正态分布N（0，2）的独立随）的独立随机变量，并要求各处理的方差机变量，并要求各处理的方差2相等。相等。上述模型中，包括两类不同的处理效应：固定效应（上述模型中，包括两类不同的处理效应：固定效应（fixed effect）和随机效应（）和随机效应（random effect）。固定效应是由固定因）。固定效应是由固定因素（素（fixed factor）所引起的效应，随机效应是由随机因素）所引起的效应，随机效应是由随机因素（random factor）所引起的效应。处理固定因素所用的模型）所引起的效应。处理固定因素所用的模型称为固定效应模型（称为固定效应模型（fixed effect model），处理随机因素所），处理随机因素所用的模型称为随机效应模型（用的模型称为随机效应模型（random effect model）。）。那么，那么，什么属固定因素？什么属随机因素？什么属固定因素？什么属随机因素？一言以蔽之，不同属性的处理或同一属性不同量级的处一言以蔽之，不同属性的处理或同一属性不同量级的处理属固定因素；而同一属性无不同量级之分的组别属随机因理属固定因素；而同一属性无不同量级之分的组别属随机因素。素。固定因素如：几个作物品种、几种不同治疗方案、几种固定因素如：几个作物品种、几种不同治疗方案、几种不同化学药物，几种不同的实验温度、几种不同的实验浓度不同化学药物，几种不同的实验温度、几种不同的实验浓度等；随机因素如：动物的若干窝组、农家肥的若干分组等。等；随机因素如：动物的若干窝组、农家肥的若干分组等。为什么要区分固定因素和随机因素呢？这是由于固定因为什么要区分固定因素和随机因素呢？这是由于固定因素和随机因素方差分析的效应模型及其均方期望不同。素和随机因素方差分析的效应模型及其均方期望不同。（二）效应模型及其均方期望（二）效应模型及其均方期望 二、效应模型及其均方期望二、效应模型及其均方期望效应模型：效应模型：如上所述，对于所有观测值都可用下述线性模型描述：如上所述，对于所有观测值都可用下述线性模型描述：ijiijx=njai,2,1,2,1 然而，然而，对于固定效应模型而言对于固定效应模型而言，只有一个随机变量只有一个随机变量ij，处理平均数与总平均数的离差处理平均数与总平均数的离差i是个常量是个常量。因而：。因而：=aiaiiixx11.0)(而而对于随机效应模型而言对于随机效应模型而言，有两个随机变量有两个随机变量i和和ij，处理，处理平均数与总平均数的离差平均数与总平均数的离差i不再是个常量不再是个常量（因重复来自于无（因重复来自于无限的总体，总体在变，限的总体，总体在变，i也在变），而是一个独立随机变量也在变），而是一个独立随机变量。如果如果i具有具有方差方差2 2并且独立于并且独立于ij，那么观测值的方差为：，那么观测值的方差为：var(xij)=2+2 方差方差2和和2称为方差分量（称为方差分量（variance component）。在）。在这个模型中，要求这个模型中，要求ij为为NID(0,2)变量，变量，i为为NID(0,2)变变量，量，NID表示独立正态分布表示独立正态分布。二、效应模型及其均方期望二、效应模型及其均方期望（二）效应模型及其均方期望（二）效应模型及其均方期望 均方期望：均方期望：对于固定效应模型而言对于固定效应模型而言，可以证明，可以证明MSe是是2的无偏估计的无偏估计量。推导如下：量。推导如下：)(1)(eeeSSEanaanaSSEMSE=ainjiijxxEana112.)(1=ainjiiijiEana112.)(1=ainjiijEana112.)(1=ainjaiiijnEana1112.21222)(1=anaana用类似方法可求得：用类似方法可求得：=aiiAnanMSE122221，021=i，0=i，=aiian1201，2)(=AMSE，即2)()(=eAMSEMSE对于固定效应模型零假设对于固定效应模型零假设H0：可以看出，只有当可以看出，只有当说明各处理平均数间差异不显著。说明各处理平均数间差异不显著。对于随机效应模型而言对于随机效应模型而言，处理平均数与总平均数的离差处理平均数与总平均数的离差i不再是一个常量，而是服从不再是一个常量，而是服从N（0，2）的随机变量。）的随机变量。因因而，尽管而，尽管 ，但，但 ，而不是固定，而不是固定效应的效应的 。因此，对于随机效。因此，对于随机效应模型，只有当应模型，只有当 ，即，即 ，说明各处理平均数间差异不显著。说明各处理平均数间差异不显著。2)(=eMSE22)(nMSEA=aiiAnanMSE12222102=2)(=AMSE2)()(=eAMSEMSE 从上面分析可以看出，由于随机模型和固定模型在从上面分析可以看出，由于随机模型和固定模型在设计设计思想和统计推断上有明显不同思想和统计推断上有明显不同，因此进行方差分析时的公式，因此进行方差分析时的公式推导也有所不同，推导也有所不同，所推导的平方和及自由度的分解公式没有所推导的平方和及自由度的分解公式没有区别区别，但，但在进行统计推断时假设检验构成的统计数是不同的在进行统计推断时假设检验构成的统计数是不同的。另外，模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不一另外，模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不一佯，佯，固定模型主要侧重于效应值的估计和比较，而随机模型固定模型主要侧重于效应值的估计和比较，而随机模型则侧重效应方差的估计和检验则侧重效应方差的估计和检验。因此，在进行分析及试验设。因此，在进行分析及试验设计之前就要明确关于模型的基本假设。计之前就要明确关于模型的基本假设。对于单因素方差分析对于单因素方差分析来说，两种模型无多大区别。来说，两种模型无多大区别。（一）方差分析的检验程序（一）方差分析的检验程序 三、单因素方差分析的检验及例题验算三、单因素方差分析的检验及例题验算1 1、正规检验程序、正规检验程序 方差分析检验方差分析检验（1）假设假设 固定效应模型：固定效应模型：0:210=aH0:iAH随机效应模型：随机效应模型：0:20=H0:2AH （2）计算统计量；）计算统计量；（3）判断假设判断假设 固定模型：固定模型：当当F0.05，接受，接受H0、拒绝、拒绝 ；当当FF0.05，P0.05，拒绝，拒绝H0、接受、接受 。随机模型：随机模型：当当F0.05，接受，接受H0、拒绝、拒绝 ；当当FF0.05，P0.05，拒绝，拒绝H0、接受、接受 。0:iAH0:2AH0:iAH0:2AH 、若拒绝若拒绝H0时进行平均数成对检验时进行平均数成对检验 方差齐性检验方差齐性检验 2、单因素方差分析的、单因素方差分析的实战检验程序实战检验程序（1）零假设：零假设：假设样本间平均数差异不显著；假设样本间平均数差异不显著；（2）方差齐性检验方差齐性检验（3）计算统计量计算统计量（4）判断假设判断假设 当当F0.05，接受假设；，接受假设；当当FF，P F4,20,0.05=2.87 F4,20,0.01=4.43，拒绝假设。，拒绝假设。24147.32总和总和0.782025.58误差误差42.23*32.944131.74处理处理F均方均方自由度自由度平方和平方和变差来源变差来源三、单因素方差分析的检验及例题验算三、单因素方差分析的检验及例题验算（二）例题验算（二）例题验算 例例8.2 随机选取随机选取4窝动物，每窝中均有窝动物，每窝中均有4只幼仔，问不同窝别只幼仔，问不同窝别动物出生重是否存在差异？动物出生重是否存在差异？解：假设不同窝别解：假设不同窝别动物出生重没有差异。动物出生重没有差异。每个观测值减去每个观测值减去30SSTSSASSe变差来源变差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F处理处理58.575319.5251.97误差误差118.945129.912总和总和177.5215判断：判断：F=1.97 3），），K2的抽样分布非常接近于的抽样分布非常接近于a-1自由度的自由度的x2分布。分布。iainnmin1=方差齐性检验的程序：方差齐性检验的程序：1、假设：、假设：222210:=H不相等至少有两个2:iAHcqK3026.22=aiiipsnsaNq122lg)1(lg)(=aiiaNnac111)()1()1(311aNsnsaiiip=122)1(2、计算统计量、计算统计量为重复数为处理数；为处理方差；nasi2=aiinNnanaNna1;时：时：3、判断：、判断：2,12axK拒绝拒绝H0