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单元检测八立体几何(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共4页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间100分钟，满分130分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()A25B50C125D都不对答案B解析长方体的8个顶点都在同一球面上，则这个球是长方体的外接球，所以球直径等于长方体的体对角线长，即R，所以球的表面积为4R24250，故选B.2.如图所示的正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A6cmB8cmC(23) cmD(22) cm答案B解析由斜二测画法知，原图四边形OABC为平行四边形，OBOA，OA1 cm，OB2cm，所以AB3cm，因此其周长为(31)28cm.3(2018广东省广州市培正中学模拟)下列命题中，错误的是( )A平行于同一平面的两个平面平行B平行于同一直线的两个平面平行C一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交D一条直线与两个平行平面所成的角相等答案B解析选项A正确，是面面平行的传递性选项B错误，比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行，但两侧面所在平面相交选项C正确，由反证法，若直线与另一平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，与直线与第一个平面相交矛盾选项D正确，由线面角定义可知正确4.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，且EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.B5C6D.答案D解析分别取AB，CD的中点G，H，连接EG，GH，EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积为，所以整个多面体的体积为.5如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么这个几何体的体积为( )A.B.C.D1答案A解析由三视图还原可知，原图形是底面是直角边为1的等腰直角三角形，两侧面也是直角边为1的等腰直角三角形，另一侧面是边长为的等边三角形的三棱锥所以体积为V1，选A.6设a，b是异面直线，则以下四个命题：存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；存在分别经过直线a和b的两个平行平面；经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；经过直线a有且只有一个平面平行于直线b，其中正确的个数为()A1B2C3D4答案C解析对于，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断错误；对于，假设过直线a有两个平面，与直线b平行，则平面，相交于直线a，过直线b作一平面与平面，相交于两条直线m，n都与直线b平行，可得a与b平行，所以假设不成立，所以正确，故选C.7(2018广东省广州市培正中学模拟)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，DAD145，CDC130，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是( )A.B.C.D.答案C解析由DAD145，CDC130，可设ADDD11，CD.连接BC1，BD.由AD1BC1，所以异面直线AD1与DC1所成的角，即BC1D.在BDC1中，BC1，BD2，C1D2，由余弦定理可得cosBC1D，所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是，选C.8ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是()A相交B平行C异面D不确定答案B解析lAB，lAC，ABACA，AB，AC平面ABC，l平面ABC.mBC，mAC，BCACC，BC，AC平面ABC，m平面ABC，lm，故选B.9已知，是两个平面，直线l，l，若以l；l；中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有()A；B；C；D；答案A解析因为，所以在内找到一条直线m，使m，又因为l，所以lm.又因为l，所以l，即；因为l，所以过l可作一平面n，所以ln，又因为l，所以n，又因为n，所以，即.故选A.10已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()AmlBmnCnlDmn答案C解析互相垂直的平面，交于直线l，直线m, n满足m，m或m或m与相交，n，l，nl.故选C.11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为()A30B45C60D90答案C解析连接BC1，AD1，D1C.M，N分别为BC，CC1的中点，MNBC1.又易证得BC1AD1，MNAD1.D1AC即为异面直线AC和MN所成的角ABCDA1B1C1D1为正方体，ACAD1D1C.即D1AC为正三角形，D1AC60.故C正确12.点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持APBD1，则点P的轨迹为()A线段B1CBBB1的中点与CC1的中点连成的线段C线段BC1DBC的中点与B1C1的中点连成的线段答案A解析APBD1恒成立，要保证AP所在的平面始终垂直于BD1.ACBD1，AB1BD1，ACAB1A，AC，AB1平面AB1C，BD1平面AB1C，P点在线段B1C上运动故选A.第卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13往一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为_厘米答案12解析VShr2hR3，R12.14.如图，E，F分别为正方体的平面ADD1A1、平面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_(填序号)答案解析因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，也就是在平面ABCD、平面CDD1C1、平面BCC1B1上的射影四边形BFD1E在平面ABCD和平面CDD1C1上的射影相同，如图所示；四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在平面BCC1B1上的射影显然是一条线段，如图所示故正确15.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_.答案90解析因为C1B1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，所以C1B1MN.又因为MNMB1，MB1，C1B1平面C1MB1，MB1C1B1B1，所以MN平面C1MB1，所以MNC1M，所以C1MN90.16.如图，BAC90，PC平面ABC，则在ABC和PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_答案AB，BC，ACAB解析PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，与AP垂直的直线是AB.三、解答题(本题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABCA1B1C1中，AC9，BC12，AB15，AA112，点D是AB的中点(1)求证：ACB1C；(2)求证：AC1平面CDB1.证明(1)三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，CC1平面ABC，又AC平面ABC，CC1AC.又AC9，BC12，AB15，AC2BC2AB2，ACBC.CC1，BC平面BB1C1C，CC1BCC，AC平面BB1C1C，又B1C平面BB1C1C，ACB1C.(2)取A1B1的中点D1，连接C1D1，D1D和AD1，ADD1B1，且ADD1B1，四边形ADB1D1为平行四边形，AD1DB1，又AD1平面CDB1，DB1平面CDB1，AD1平面CDB1.CC1DD1，且CC1DD1，四边形CC1D1D为平行四边形，C1D1CD，又CD平面CDB1，C1D1平面CDB1，C1D1平面CDB1，AD1C1D1D1，AD1，C1D1平面AC1D1，平面AC1D1平面CDB1，又AC1平面AC1D1，AC1平面CDB1.18(12分)如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD底面ABCD，E为侧棱PD的中点(1)求证：PB平面EAC；(2)求证：AE平面PCD；(3)当为何值时，PBAC?(1)证明连接BD交AC于O，连接EO，因为O，E分别为BD，PD的中点，所以EOPB，因为EO平面EAC，PB平面EAC，所以PB平面EAC.(2)证明平面PDC平面PAD，正三角形PAD中，E为PD的中点，所以AEPD，又平面PDC平面PADPD，所以AE平面PCD.(3)解设N为AD中点，连接PN，则PNAD.又平面PAD底面ABCD，所以PN底面ABCD.所以，NB为PB在平面ABCD上的射影要使PBAC，只需NBAC，在矩形ABCD中，设ADBC1，ABx，AN，由ANBBAC，得RtNABRtABC，AB2ANBCx2，解得x，所以，当时，PBAC.19(13分)如图，已知四棱锥PABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB2，BD2，M，N分别是线段PA，PC的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求异面直线MN与BC所成角的大小(1)证明连接AC交BD于点O，M，N分别是线段PA，PC的中点，MNAC，MN平面ABCD，AC平面ABCD，MN平面ABCD.(2)解由(1)知，ACB就是异面直线MN与BC所成的角或其补角四边形ABCD为菱形，AB2，BD2，在RtBOC中，BC2，BO，OCB60，异面直线MN与BC所成的角为60.20(13分)(2017北京)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积(1)证明因为PAAB，PABC，AB，BC平面ABC，ABBCB，所以PA平面ABC，又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC，由(1)知，PABD，ACPAA，AC，PA平面PAC，所以BD平面PAC.又因为BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.(3)解因为PA平面BDE，PA平面PAC，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.10
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