（山东专用）2020年高考数学一轮复习 专题18 同角三角函数基本关系式和诱导公式（含解析）

专题18 同角三角函数基本关系式和诱导公式一、【知识精讲】1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan . 平方关系对任意角都成立，而商数关系中k(kZ)2诱导公式一二三四五六2k(kZ)sin sin sin sin cos cos_cos cos cos cos_sin sin tan tan tan tan_诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k(kZ)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k(kZ)”中，将看成锐角时，“k(kZ)”的终边所在的象限.二、常用结论汇总规律多一点同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin21cos2(1cos )(1cos )；cos21sin2(1sin )(1sin )；(sin cos )212sin cos .(2)sin tan cos .二、【典例精练】考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1）已知sin cos ，且，则cos sin ()A.B.C.D.【答案】B【解析】，cos 0，sin sin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .（2） (2018全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.【答案】【解析】由sin cos 1，cos sin 0，两式平方相加，得22sin cos 2cos sin 1，整理得sin().【解法小结】1.利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.考点二诱导公式的应用例2. (1)(2017北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin ，则sin _.【答案】【解析】与的终边关于y轴对称，则2k，kZ，2k，kZ.sin sin(2k)sin .(2)设f()(12sin 0)，则f_.【答案】【解析】f()，f.【解法小结】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5)cos()cos .考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用例3.（1）已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin ()A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知得消去sin ，得tan 3，sin 3cos ，代入sin2cos21，化简得sin2，则sin (为锐角).（2）(2016全国卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.【答案】【解析】由题意，得cos，tan.tantan.【解法小结】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如与互余等.三、【名校新题】1.(2019平顶山联考)已知5，则cos2sin 2()A.B.C.3 D.3【答案】A【解析】由5得5，可得tan 2，则cos2sin 2cos2sin cos .2.（2018黑龙江齐齐哈尔三模）在平面直角坐标系中，角与角都以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由角与角终边关于轴对称知Z，所以.故选A.3.(2019衡水中学调研)若cos，则cos(2)()A.B.C.D.【答案】D【解析】由cos，得sin .cos(2)cos 2(12sin2)2sin2121.4.（2018河南八市下学期第一次测评）已知，则（ ）A. B. C. 5 D. 6【答案】A【解析】，故选A.5.(2019菏泽联考)已知，sin，则tan(2)()A.B.C.D.【答案】A【解析】，sin，cos ，sin ，tan 2.tan(2)tan 2.6.（2018安徽芜湖一模）若，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，所以，两边平方得，解得或（舍去）.7.(2019湖北七州市联考)已知(0，)，且cos ，则sintan ()A.B.C.D.【答案】C【解析】(0，)，且cos ，sin ，因此sintan cos sin .8.(2019衡水模拟)已知直线2xy10的倾斜角为，则sin 22cos2()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意知tan 2，sin 22cos2.9.(2019淮南十校联考)已知sin，则cos的值为()A B.C. D【答案】A【解析】sin，coscossin.10.(2019邯郸一模)若sin()3sin()，且，则_.【答案】2【解析】由条件，得sin()3sin()，sin cos 2cos sin ，则tan 2tan ，因此2.11.(2019武昌调研)若tan cos ，则cos4_.【答案】2【解析】tan cos cos sin cos2，故cos4cos4sin cos4sin sin2sin2sin 1sin2cos21112.12.（2019年荆州市八校高三第一次联考）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0618，这一数值也可表示为 若，则【答案】【解析】，所以13.（湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试）已知，则【答案】【解析】14.（2019年合肥二模）若，则_.【答案】-49【解析】由已知得，cos=，cos2=2132-1=-79，-79+13=-4915（江西省红色七校2019届高三第一次联考）若，则_ 【答案】【解析】由cos+4=13，得sin2=-cos2+4=-2cos2+4-1=-29-1=79,因为02，cos=cos+4-4=2213+223=2+46，cos2=22+462-1=429，由sin2+4=33，得cos=sin22+4=2sin2+4cos2+4=23363=223，因-20，sin=-1-2232=-13，cos2+=cos2cos-sin2sin=429223-79-13=2327.16.（2019枣庄模拟）已知cos6-=1，则cos56+sin23-=_【答案】0【解析】cos56+=-cos6-=- ，sin23-=sin2+6-=cos6-=，所以原式=08