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（1）已知四边形ABCD， ABC=30ADC=60 AD=DC，求证BD =AB +BC方法一：把ABD绕D逆时针旋转60,AD=DC旋转后的DCPDAB,BDP=60BD=BP,等边三角形BDP,BP=BD.又ABD+CBD=30CBD+CPD=30，BCCP(是可以证的，BPD+DBC+DPC=直角BCP)BC²+CP²=BP²CP=AB,BP=BD如图1方法二：做BPAB,且使BP=BC,连接AP,AC,PC.AD=DC,ADC=60等边三角形ADCBABP,ABC=30PBC=60等边三角形PBCAC=DC,ACP=DCB,PC=BCACPDCB(SAS)AP=BD又RTABPAB²+BP²=AP²BP=BC，AP=BD如图2如图所示，在凸四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC，求证：BD=AB+BC如图：四边形ABCD中，AD=DC，ABC=30，ADC=60试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由解：分析:待证明的等式说明AB,BC,BD三条线段可组成一个直角三角形.因此,应设法将它们集中到一起.从条件容易知道,三角形ADC是一个正三角形.这样,就可一将三角形BCD作旋转变换.得到以下证明方法:证明:连结AC,因为AD=DC,ADC=60则ACD是等边三角形.过B作BEAB,使BE=BC,连结CE,AE则EBC=90ABC=9030=60BCE是正三角形,又ACE=ACBBCE=ACB60DCB=ACBACD=ACB60ACE=DCB又DC=AC,BC=CE所以DCBACE所以AE=BD在直角三角形ABE中AE2=AB2BE2即BD2=AB2BC2证明:过B作ABBE使BE=BC则ABE=90ABC=30CBE=60BCE为正三角形BC=BE=CEACE=ACB+60=DCBAC=DC BC=CEDCBACEBD=AE在RtABE中AE2=AB2+BE2BD平方=AB平方+BC平方过B作ABBE使BE=BC则ABE=90ABC=30CBE=60BCE为正三角形BC=BE=CEACE=ACB+60=DCBAC=DC BC=CEDCBACEBD=AE在RtABE中AE2=AB2+BE2BD平方=AB平方+BC平方过B作ABBE使BE=BC则ABE=90ABC=30CBE=60BCE为正三角形BC=BE=CEACE=ACB+60=DCBAC=DC BC=CEDCBACEBD=AE在RtABE中AE2=AB2+BE2BD平方=AB平方+BC平方解答:分析从结论想办法.结论是BD=AB+BC,是勾股定理的表达式，因此要通过变形,构造直角三角形,使BD为斜边, AB、BC为直角边。为此我们 过点B作BE垂直AB于B,使BE=BC，点E、C在直线AB同旁，连结CE， 则三角形BCE为等边三角形。 连结AE、BD，在三角形ACE和三角形BCD中， BC=CE，CD=AC，ACE=60度+ACB，BCD=60度+ACB，所以ACE=BCD 所以三角形BCD全等于三角形ACE，于是AE=BD ；在三角形ABE中，ABE=90度，所以， AE=AB+BE,BE=BC, AE=AB+BC 所以，BD=AB+BC2.如图，在四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC，连接AC、BD在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边三角形BCE，连接AE（1）求证：BD=AE；（2）若AB=2，BC=3，求BD的长(1)略；（2）BD=.【解析】试题分析：（1）由ADC=60，AD=DC，易得ADC是等边三角形，又由BCE是等边三角形，可证得BDCEAC（SAS），即可得BD=AE；（2）由BCE是等边三角形，ABC=30，易得ABE=90，然后由勾股定理求得AE的长，即可求得BD的长试题解析：证明：在ADC中，AD=DC，ADC=60，ADC是等边三角形，DC=AC，DCA=60；又BCE是等边三角形，CB=CE，BCE=60，DCA+ACB=ECB+ACB，即DCB=ACE，在BDC和EAC中，BDCEAC（SAS），BD=AE；（2）【解析】BCE是等边三角形，BE=BC=3，CBE=60ABC=30，ABE=ABC+CBE=90在RtABE中，AE=，BD=AE=考点：全等三角形的判定及性质；等边三角形的判定及性质（3）三角形abc是等腰直角三角形，acb=90，m，n为斜边ab上两点。满足am+bn=mn求MCN的度数方法1：给你一个提示，M N两点分别是MN=2AM=2BN,也就是说MN=1/2AB,AM=BN=1/4AB,M N分别做AC BC的高，利用三角函数求出角BCN ACM,实际上这两个角是相等的，然后用90度减去就行了方法2证明：作PAAB，且PA=BN，连接CP三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC，CAB=B=45在CPA和CNB中，PAC=90-CAB=45=B，PA=NB，CA=CBCPACNB（SAS）CP=CN，PCA=NCBMCN=45ACM+NCB=45则PCA+ACM=45即PCM=45=MCN。又CM=CMPCMNCM（SAS）PM=MNPAM是直角三角形，PA+AM=PM即AM+BN=MN如图，等腰直角ABC的斜边AB上有两点M、N，且满足MN2=BN2+AM2，将ABC绕着C点顺时针旋转90后，点M、N的对应点分别为T、S（1）请画出旋转后的图形，并证明MCNMCS；（2）求MCN的度数作图-旋转变换；全等三角形的判定及性质；勾股定理的逆定理专题：综合题分析：（1）根据旋转角度、旋转方向、旋转点找出各点的对应点，顺次连接即可得出旋转后的图形，根据MN2=BN2+AM2，可证得MS=MN，从而利用SSS可证得结论（2）根据旋转角为90，再由（1）的结论即可得出答案解答：解：（1）画图形如右图所示：证明：由旋转的性质可得：CS=CN，AS=BN，又MN2=BN2+AM2，MN2=AS2+AM2=MS2，MS=MN，又CS=CN，CM=CM，MCNMCS（SSS）（2）由（1）得：MCNMCS，NCM=MCS=45点评：本题考查旋转作图及三角形全等的证明，难度较大，关键是掌握旋转前后线段的长度，角的度数均不变（4）三角形ABC中,D在AC上AB=AD=2,AC=4,BD:DC=2:3 则三角形是什么三角形设BD的中点为E，且BD2x，则CD3x，从而CE4x，由勾股定理得：ABBEAEACCE2x24(4x) 得：x BC(5x)25x2520而ABAC2420ABACBC即ABC是直角三角形（5）在ABC中，AB=10，AC=5，D是BC上的一点，且BD：DC=2：3，则AD的取值范围是 4AD84AD8考点：三角形三边关系分析：已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出BC的取值范围；根据BD：DC=2：3，求出BD，DC的取值范围，再根据三角形三边关系求出AD的取值范围解答：解：由三角形三边关系定理得10-5BC10+5，即5BC15 BD：DC=2：3， 2BD6，AD的取值范围是10-6AD10-2，即4AD8故答案为4AD8点评：本题考查了三角形三边关系要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边已知三角形ABC,点D在边AC上,AD:DC=2:1,BDAB, tanDBC=,则sin BAC为 答案为解：过D做AB的平行线交BC于E，则因为BDAB，所以BDBC，在RtBED中，因为tan DBC=，即DE/BD=，设DE=k,则BD=3K,所以BE=10k.因为DEAB，=，所以=，故CE=,在DBC中tanDBC=，即=，解得 cosDBC=3倍根10/10，由余弦定理解得DC=3k倍根2/2,所以AD=3k 。所以sinBAC =.。如图，已知ABC，点D在边AC上，AD：DC=2：1，BDAB，tanDBC=，则sinBAC的值是 首先过D做AB的平行线交BC于E，求出cosDBC=，进而得出CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC，求出CD的长，进而得出sinBAC的值【解析】过D做AB的平行线交BC于E，BDAB，BDDE，在RtBED中，tanDBC=，即=，设DE=k，则BD=3K，所以BE=kDEAB，=2，=2，故CE=k，在DBC中tanDBC=，则cosDBC=，由余弦定理：CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC，CD2=9k2+（）2k2-23kk，解得：DC=，所以AD=3k所以sinBAC=故答案为：直角三角形斜边中线定理如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形 斜边上的中线 等于斜边的一半 其逆命题1：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。 逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。 原命题2：如果BD是直角三角形ABC斜边AC上的中线，那么它等于AC的一半。 逆命题2：如果线段BD的一端B是直角三角形ABC的顶点，另一端D在斜边AC上，且BD等于AC的一半，那么BD是斜边AC的中线。 逆命题2是不成立的。举一个反例。设直角三角形三边长分别为AB=3，BC=4，AC=5。斜边的一半长为2.5,斜边上的高BE=（3*4）/5=2.4,在线段AE上上必能找到一点D，使BD=2.5，但BD并不是AC边的中线，因为AC边的中点在线段EC上。 3.阅读：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，如图，RtABC中，D为AB中点，则CD=AD=BD= 12AB（此定理在解决下面的问题中要用到）应用：如图1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2）求证：BPMCPE；求证：PM=PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到及BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由（1）证明：BM直线a，CN直线a，BMN=CNM=90，BMCN，MBP=PCE，点P为BC边中点，BP=PC，在BPM和CPE中，MBP=PCEBP=PCBPM=CPEBPMCPE（ASA）；BPMCPE，MP=PE，MNE=90，PN=PM；（2）PM=PN还成立理由如下：如图3，延长MP及NC延长线交于F，BM直线a，CN直线a，BMFN，BMP=PFC，点P为BC边中点，BP=PC，在BMP和CFP中，BMP=PFCBP=PCBPM=CPFBMPCFP（ASA），PM=PF，MNF=90，PM=PN；（3）四边形MBCN是矩形，PM=PN还成立理由如下：如图4，aBC，BMa，CNa，BMCN，BM=CN，四边形MBCN是矩形，点P是BC的中点，BP=CP，在BMP和CMN中，BM=CNPBM=PCN=90BP=CPBMPCPN（SAS），PM=PN4.如图，在RtABC中，ABC=90，D是斜边AC的中点，DEAB，垂足为E，EFDB交CB的延长线于点F，猜想：四边形CDEF是怎样的特殊四边形？试对你猜想的结论说明理由 四边形CDEF是等腰梯形理由：在RtABC中，ABC=90，D是斜边AC的中点，DEAB，BD是斜边上的中线，DE是ABC的中位线，BD=CD，DEBC，DE= 12BC，EFDB，四边形BDEF是平行四边形，BD=EF，EF=CD，DEBC，四边形CDEF是梯形，四边形CDEF是等腰梯形在RtABC中，C=90，AC=6，点D是斜边AB中点，作DEAB，交直线AC于点E。（1）若A=30，求线段CE的长；（2）当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若CE=1，求BC的长。题型：解答题难度：偏难来源：解：（1）（1）联结BE，点D是AB中点且DEAB，BE=AEA=30，ABE=30，CBE=B-ABE=30又C=90 AC=6；（2）结BE，则在RtBCE中，由勾股定理得即解得；（3）1当点E在线段AC上时，由（2）得解得（负值已舍）2当点E在AC延长线上时，在RtBCE中，由勾股定理得，即解得（负值已舍）综上所述，满足条件的BC的长为，。
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