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第4节三角函数的图象与性质1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-2,2)内的单调性.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sin x,x0,2图象的五个关键点是(0,0),(2,1),(,0),(32,-1),(2,0).余弦函数y=cos x,x0,2图象的五个关键点是(0,1),(2,0),(,-1),(32,0),(2,1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y=sin xy=cos xy=tan x图象定义域RRx|xk+2,kZ值域-1,1-1,1R单调性递增区间:2k-2,2k+2(kZ),递减区间:2k+2,2k+32(kZ)递增区间:2k-,2k(kZ),递减区间:2k,2k+(kZ)递增区间:(-2,k+2)(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k,0)(kZ)对称中心(k+2,0)(kZ)对称中心(k2,0)(kZ)对称轴x=k+2(kZ)对称轴x=k(kZ)周期性221.对称性与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数y=Asin(x+)的单调区间时A和的符号,尽量化成0,避免出现增减区间混淆的情况.3.对于y=tan x不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(k-2,k+2)(kZ)内为增函数.1.若函数y=2sin 2x+1的最小正周期为T,最大值为A,则(A)A.T=,A=3B.T=2,A=3C.T=,A=2D.T=2,A=2解析:最小正周期T=22=,最大值A=2+1=3.故选A.2.下列函数中最小正周期为且图象关于直线x=3对称的是(B)A.y=2sin(2x+3)B.y=2sin(2x-6)C.y=2sin(x2+3)D.y=2sin(2x-3)解析:函数y=2sin(2x-6)的周期T=22=,又sin(23-6)=1,所以函数y=2sin(2x-6)的图象关于直线x=3对称.故选B.3.(多选题)已知函数f(x)=sin(x-2)(xR),则下列结论正确的是(ABC)A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在区间0,2上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数解析:由题意,可得f(x)=-cos x,对于选项A,T=21=2,所以选项A正确;对于选项B,y=cos x在0,2上是减函数,所以函数f(x)在区间0,2上是增函数,所以选项B正确;对于选项C,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),所以函数是偶函数,所以其图象关于直线x=0对称,所以选项C正确,选项D错误.故选ABC.4.(必修第一册P207练习T5改编)函数y=cos(4-2x)的单调递减区间为.解析:由y=cos(4-2x)=cos(2x-4),得2k2x-42k+(kZ),解得k+8xk+58(kZ),所以函数的单调递减区间为k+8,k+58(kZ).答案:k+8,k+58(kZ)5.已知函数f(x)=2asin(2x+6)+a+b(a0)的定义域为0,2,值域为-5,1,则a+b=.解析:因为x0,2,所以2x+66,76,所以sin(2x+6)-12,1.因为a0,故-a+40,解得00,0)的单调区间时,要视“x+”为一个整体,通过解不等式求解.但如果0,可借助诱导公式将化为正数,防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.针对训练 1.函数f(x)=tan(2x-3)的单调递增区间是()A.k2-12,k2+512(kZ)B.(k2-12,k2+512)(kZ)C.(k+6,k+23)(kZ)D.k-12,k+512(kZ)解析:由k-22x-3k+2(kZ),得k2-12x0)的一条对称轴为直线x=3,一个对称中心为点(12,0),则有()A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值1(2)已知函数f(x)=2sin(x+6)(0)的最小正周期为4,则该函数的图象()A.关于点(3,0)对称B.关于点(53,0)对称C.关于直线x=3对称D.关于直线x=53对称解析:(1)因为函数的中心到对称轴的最短距离是T4,两条对称轴间的最短距离是T2,所以,对称中心(12,0)到对称轴x=3间的距离用周期可表示为3-12T4,又因为T=2,所以244,所以2,所以有最小值2.故选A.(2)因为函数f(x)=2sin(x+6)(0)的最小正周期为4,而T=2=4,所以=12,即f(x)=2sin(x2+6).令x2+6=2+k(kZ),解得x=23+2k(kZ),故f(x)的对称轴为直线x=23+2k(kZ).令x2+6=k(kZ),解得x=-3+2k(kZ),故f(x)的对称中心为(-3+2k,0)(kZ),对比选项可知B正确.故选B.(1)对于可化为f(x)=Asin(x+)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令x+=2+k(kZ),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令x+=k(kZ),求x即可.(2)对于可化为f(x)=Acos(x+)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令x+=k(kZ),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令x+=2+k(kZ),求x即可.针对训练 1.在函数y=cos |2x|,y=|cos x|,y=cos(2x+6),y=tan(2x-4)中,最小正周期为的所有函数为()A.B.C.D.解析:y=cos |2x|=cos 2x,最小正周期为;由函数图象知y=|cos x|的最小正周期为;y=cos(2x+6)的最小正周期T=22=;y=tan(2x-4)的最小正周期T=2.故选A.2.若函数f(x)=asin x+bcos x(05,ab0)的图象的一条对称轴方程是x=4,函数f(x)的图象的一个对称中心是(8,0),则f(x)的最小正周期是.解析:由题设可知,有f(4)=a2+b2,即22(a+b)=a2+b2,由此得到a=b.又f(8)=0,所以a(cos8-sin8)=0,从而tan 8=1,8=k+4,kZ,即=8k+2,kZ,而00,9-x20,得kxk+2,kZ,-3x3.所以-3x-2或0x0)的最小正周期为2,则f(x)在0,4上的值域为(B)A.-32,12B.-12,1C.-32,1D. 12,1解析:因为T=2=2,所以=4,f(x)=cos(4x-3).因为x0,4,所以4x-3-3,23,所以-12f(x)=cos(4x-3)1,所以f(x)-12,1.故选B.3.(多选题)已知函数f(x)=32sin 2x-12cos 2x,则下列判断正确的是(AC)A.关于直线x=3对称B.关于直线x=6对称C.关于点(12,0)对称D.关于点(3,0)对称解析:f(x)=32sin 2x-12cos 2x=sin(2x-6),则f(3)=sin(23-6)=sin 2=1,即函数关于直线x=3对称,故A正确,D错误;f(6)=sin(26-6)=sin 6=12,则函数不关于直线x=6对称,故B错误;f(12)=sin(212-6)=0,即f(x)关于点(12,0)对称,故C正确.故选AC.4.函数y=2sin(6-2x) (x0,)的单调递增区间是(C)A.0,3B. 12,712C. 3,56D. 56,解析:因为y=2sin(6-2x)=-2sin(2x-6),由2+2k2x-632+2k,kZ,解得3+kx56+k,kZ,即函数在R上的单调递增区间为3+k,56+k,kZ,所以函数在0,上的单调递增区间为3,56.故选C.5.函数f(x)=sin x(0)的图象向右平移12个单位长度得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间6,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则实数的值为(C)A.74B.32C.2D.54解析:因为将函数f(x)=sin x(0)的图象向右平移12个单位长度得到函数y=g(x)的图象,所以g(x)=sin (x-12),又函数g(x)在区间6,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,所以g(3)=sin 4=1且23,所以=8k+2(kZ),06, 所以=2.故选C.6.设函数f(x)=cos(x+6)在-,上的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为(C)A.109B.76C.43D.32解析:由图可得,函数图象过点(-49,0),将它代入函数f(x)可得cos(-49+6)=0,又(-49,0)是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点,所以-49+6=-2,解得=32,所以函数f(x)的最小正周期为T=2=232=43.故选C.7.已知函数f(x)=sin x+acos x的图象关于直线x=53对称,则实数a的值为.解析:由x=53是f(x)图象的对称轴,可得f(0)=f(103),即sin 0+acos 0=sin 103+acos 103,解得a=-33.答案:-338.若函数f(x)=sin x(02)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则等于.解析:根据题意知f(x)在x=3处取得最大值1,所以sin 3=1,所以3=2k+2,kZ,即=6k+32,kZ.又00),将f(x)图象上的所有点的横坐标向右平移3个单位长度,纵坐标不变,所得函数图象的一个对称中心为(-4,-1),则的最小值为(B)A.27B.107C.127D.227解析:因为函数f(x)=cos(x+3)-1(0),将f(x)图象上的所有点的横坐标向右平移3个单位长度,纵坐标不变,可得函数y=cos(x-3+3)-1的图象,所得函数图象的一个对称中心为(-4,-1),则cos(-4)-3+3-1=-1,所以cos(-4)-3+3=0,即(-4)-3+3=k+2,即=-127k-27,kZ,所以的最小值为107.故选B.11 函数f(x)=Asin(2x+)(|,A0)的部分图象如图所示,则f(x)(B)A.在(-512,12)上是减函数B.在(-512,12)上是增函数C.在(3,56)上是减函数D.在(3,56)上是增函数解析:由图象可知A=2,函数的图象过点(3,0),所以有2sin(23+)=023+=k(kZ)=k-23(kZ).因为|,所以=3或=-23,当=-23时,f(x)=2sin(2x-23),此时f(0)0,不符合题意,所以=3.所以f(x)=2sin(2x+3).当x(-512,12)时,2x+3(-2,2),所以f(x)单调递增;当x(3,56)时,2x+3(,2),函数f(x)不具有单调性.故选B.12.已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是.解析:f(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x+1)(cos x-12),所以当cos x12时,函数f(x)单调递增,从而得到函数f(x)的单调递减区间为2k-53,2k-3 (kZ),函数f(x)的单调递增区间为2k-3,2k+3 (kZ),所以当x=2k-3,kZ时,函数f(x)取得最小值,此时sin x=-32,sin 2x=-32,所以f(x)min=2(-32)-32=-332.答案:-33213.关于函数f(x)=sin x+1sinx有如下四个命题:f(x)的图象关于y轴对称;f(x)的图象关于原点对称;f(x)的图象关于直线x=2对称;f(x)的最小值为2,属于真命题的序号是.解析:对于命题,f(6)=12+2=52,f(-6)=-12-2=-52,则f(-6)f(6),所以,函数f(x)的图象不关于y轴对称,命题错误;对于命题,函数f(x)的定义域为x|xk,kZ,定义域关于原点对称,f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=-sin x-1sinx=-(sin x+1sinx)=-f(x),所以,函数f(x)的图象关于原点对称,命题正确;对于命题,因为f(2-x)=sin(2-x)+1sin(2-x)=cos x+1cosx,f(2+x)=sin(2+x)+1sin(2+x)=cos x+1cosx,则f(2-x)=f(2+x),所以,函数f(x)的图象关于直线x=2对称,命题正确;对于命题,当-x0时,sin x0,则f(x)=sin x+1sinx02,命题错误.答案:14.已知函数f(x)=2sin(2x+4).(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)当x4,34时,求函数f(x)的最大值和最小值.解:(1)令2x+4=k+2,kZ,得x=k2+8,kZ.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=k2+8,kZ.(2)令2k-22x+42k+2,kZ,得k-38xk+8,kZ.故函数f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kZ.(3)当x4,34时,342x+474,所以-1sin(2x+4)22,所以-2f(x)1,所以当x4,34时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-2.15.设函数f(x)=2sin(2x-6)+m的图象关于直线x=对称,其中012.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若函数y=f(x)的图象过点(,0),求函数f(x)在0,32上的值域.解:(1)由直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin(2-6)=1,所以2-6=k+2(kZ),即=k2+13(kZ).又00,-122),给出以下四个论断:f(x)的最小正周期为;f(x)在区间(-6,0)上是增函数;f(x)的图象关于点(3,0)对称;f(x)的图象关于直线x=12对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题(写成“pq”的形式) .(用到的论断都用序号表示)解析:若f(x)的最小正周期为,则=2,函数f(x)=sin(2x+).同时若f(x)的图象关于直线x=12对称,则sin(212+)=1,又-122,所以212+=2,所以=3,此时f(x)=sin(2x+3),成立,故.若f(x)的最小正周期为,则=2,函数f(x)=sin(2x+),同时若f(x)的图象关于点(3,0)对称,则23+=k,kZ,又-122,所以=3,此时f(x)=sin(2x+3),成立,故.答案:或
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