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专题04 函数及其表示一、【知识精讲】1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数【知识拓展】1函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系2分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论二、【典例精练】例1.（1）函数f(x)的定义域为_ (2)已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.【答案】(1)(1，)(2)B【解析】(1)由题意得解得x1，所以函数f(x)的定义域为(1，)(2)令u2x1，由f(x)的定义域为(1,0)，可知1u0，即12x10，得1x.【解法小结】1使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)yx0要求x0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)正切函数ytan x，xk(kZ)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求2抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域例2.(1)已知二次函数f(2x1)4x26x5，求f(x)；(2)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)(3)已知fx2，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式；【解析】(1)法一：待定系数法因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)法二：换元法令2x1t(tR)，则x，所以f(t)4265t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)法三：配凑法因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)（2）(2)解方程组法由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，2，得3f(x)2x12x.即f(x).故f(x)的解析式是f(x)(xR)（3）由于fx222，令tx，当x0时，t22，当且仅当x1时取等号；当x0时，t2，当且仅当x1时取等号，f(t)t22t(，22，)综上所述f(x)的解析式是f(x)x22，x(，22，)（4）设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即2axabx1，即f(x)x2x2.【解法小结】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).例3.（1）(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)【答案】D【解析】法一：分类讨论法当即x1时，f(x1)f(2x)，即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)，即为122x，解得x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)1，解得x，x0.当01，显然成立当x时，原不等式为2x21，显然成立综上可知，x的取值范围是.【解法小结】1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值.2.已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论.三、【名校新题】1（2019河北衡水模拟）函数fx=x-20+23x+1的定义域是（）A.-13，+ B.-，-13C. R D.-13，22，+【答案】D【解析】由x-203x+10即得2(2019长春质检)函数y的定义域是()A1,0)(0,1)B1,0)(0,1C(1,0)(0,1 D(1,0)(0,1)【答案】D【解析】由题意得解得1x0或0x1.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1)3已知f2x5，且f(a)6，则a等于()A. BC. D【答案】A【解析】令tx1，则x2t2，f(t)2(2t2)54t1，则4a16，解得a.4(2019贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是()Ay Byln xCy Dy【答案】D【解析】对于A，定义域为1，)，值域为0，)，不满足题意；对于B，定义域为(0，)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(，0)(0，)，值域为(，1)(0，)，不满足题意；对于D，y1，定义域为(，1)(1，)，值域也是(，1)(1，)5(2019石家庄模拟)已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，则f(f(3)()A2B2C3 D3【答案】B【解析】由题意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，联立，结合0a1，得a，b1，所以f(x)则f(3)319，f(f(3)f(9)log392.6已知函数yf(2x1)的定义域是0,1，则函数的定义域是()A1,2 B(1,1C. D(1,0)【答案】D【解析】由f(2x1)的定义域是0,1，得0x1，故12x11，f(x)的定义域是1,1，要使函数有意义，需满足解得1x07（荆州市2019届高三八校联考）设函数，若角的终边经过点，则的值为（）A1B3C4D9【答案】B【解析】，所以8（2019湖北调研）已知具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)其中满足“倒负”变换的函数是()A BC D【答案】B【解析】对于，f(x)x，fxf(x)，满足题意；对于，fxf(x)，不满足题意；对于，f即f故ff(x)，满足题意综上可知，满足“倒负”变换的函数是.9.（湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试） 已知函数，若存在两个零点，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】由已知有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，作图可得.选D.10(2019青岛模拟)函数yln的定义域为_【答案】(0,1【解析】由0x1.所以该函数的定义域为(0,111(2019益阳、湘潭调研)若函数f(x)则f(f(9)_.【答案】-2【解析】函数f(x)f(9)lg 101，f(f(9)f(1)2.12(2018张掖一诊)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于_【答案】-3【解析】f(1)2，且f(1)f(a)0，f(a)20，故a0.依题知a12，解得a3.13（恩施州2019届高三考试题）设函数f(x)=ex-1,x1x12,x1，则f(x)3成立的x的取值范围_【答案】(-,9【解析】解：x1；x-10；ex-11；x1时，f(x)3成立；x1时，由f(x)3得，x123；x9；1x9；x9；x的取值范围为：(-,9故答案为：(-,914设函数f(x)且f(2)3，f(1)f(1)(1)求函数f(x)的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象【解析】(1)由f(2)3，f(1)f(1)，得解得所以f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示9
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