（名师导学）2020版高考数学总复习 第七章 不等式、推理与证明 第38讲 不等关系与不等式练习 理（含解析）新人教A版

第七章不等式、推理与证明【p81】第38讲不等关系与不等式夯实基础【p81】【学习目标】1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用【基础检测】1若a，b，cR，ab，则下列不等式成立的是()A.b2C.Da|c|b|c|【解析】由题意可知a，b，cR，ab，对于选项A，取a1，b2，显然满足ab，但，故错误；对于选项B，取a1，b2，显然满足ab，但a20，ab，故正确；对于选项D，当c0时，显然a|c|b|c|，故错误【答案】C2已知1a2b4，则a2b的取值范围是()A(3，6) B(2，6) C(3，8) D(4，8)【解析】1a2，1a24，又2b4，3a2b0且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P与Q的大小关系为_【解析】PQloga(a31)loga(a21)loga.当a1时，a31a21，所以1，则loga0；当0a1时，0a31a21，所以00.综上可知，当a0且a1时，PQ0，即PQ.【答案】PQ5三个正数a，b，c满足abc2a，bac2b，则的取值范围是_【解析】三个正数a，b，c，满足abc2a，bac2b，12，12，即21，不等式的两边同时相加得1212，则等价为即即.【答案】【知识要点】1不等式的定义用不等号“，”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式2实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0_ab_；ab0ab；ab0_ab_bb，bc_ac_；(3)可加性：ab_acbc_；ab，cd_acbd_；(4)可乘性：ab，c0_acbc_；ab，c0_acb0，cd0_acbd_；(5)倒数法则：ab，ab0_b0_anbn_(n2，nN*)；(7)开方性质：ab0_(n2，nN*)；(8)有关分数的性质：若ab0，m0，则真分数的性质：_(bm0)；假分数的性质：_；_0)典例剖析【p82】考点1比较两个数(式)的大小(1)已知实数a，b满足ab0，则x与y的大小关系为()Axy Bx0，(ab)20，0，xy.【答案】D(2)若a0，b0，则p(ab)，qabba的大小关系是()Apq BpqCpq Dp0，q0，所以ab，若ab0，则1，ab0，1；若ba0，则01，ab1；若ab，则pq；所以pq.【答案】A(3)若a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbae时，函数f(x)单调递减因为e34f(4)f(5)，即cba.【答案】B【点评】(1)作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系考点2不等式的性质(1)已知a，b，c满足cba，且acac B(ba)c0Ccb20【解析】由cba，且ac0，cc，a0abac，A正确；由ba，c0，B错误；由ca，b20cb2ab2，当b0时取等号，故C错误；由ca，ac0ac(ac)0，D错误【答案】A(2)如果ab0，那么下列不等式成立的是()A.Babb2Caba2 D【解析】法一(性质判断)：对于A项，由ab0，ab0，故0，故A项错误；对于B项，由ab0，abb2，故B项错误；对于C项，由ab0，a2ab，即aba2，故C项错误；对于D项，由ab0，得ab0，故0，1，ab2b21，ab2a24，1.故A、B、C项错误，D项正确【答案】D【点评】不等式性质应用问题的三大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法考点3不等式性质的应用设f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的取值范围是_【解析】法一：设f(2)mf(1)nf(1)(m、n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，即5f(2)10.法二：由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法三：由确定的平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3，1)时，取得最大值432110，5f(2)10.【答案】5，10已知1lg xy4，1lg2，求lg的取值范围【解析】由1lg xy4，1lg 2，得1lg xlg y4，1lg xlg y2，而lg2lg xlg y(lg xlg y)(lg xlg y)，所以1lg5，即lg 的取值范围是1，5【点评】(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围方法总结【p82】1用同向不等式求差的范围adxybc.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到2倒数关系在不等式中的作用.3比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一作差法的主要步骤：作差变形判断正负在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商4求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法失误与防范abacbc或abacb或a，当ab0时不成立abanbn需根据n，a，b的取值范围确定1ab，对于正数a、b才成立注意不等式性质中“”与“”的区别，如：ab，bcac，但ac不能推出.比商法比较大小时，要注意两式的符号走进高考【p83】1(2016北京)已知x，yR，且xy0，则()A.0 Bsin xsin y0C.0【解析】选项A中，因为xy0，所以，即0，故结论不成立；选项B中，当x，y时，sin xsin yy0，所以，所以b0，且ab1，则下列不等式成立的是()Aalog2(ab)B.log2(ab)aCalog2(ab)Dlog2(ab)a1，因此alog2(ab).【答案】B考点集训【p218】A组题1若a，b，cR，且ab0c，则下列不等式错误的是()A.B(ab)c20Ca2b2 Dacbc【解析】对于A，0，故A正确；对于B，由ab，c0，c20，故B正确；对于C，由ab0知a2b2，正确；D错误【答案】D2若a0，b0，则p与qab的大小关系为()Apq Dpq【解析】pqab(b2a2)，a0，b0，ab0，ab0，若ab，则pq0，此时pq，若ab，则pq0，此时pq，综上pq.【答案】B3设，那么2的取值范围是()A.B.C(0，) D.【解析】由0，0得2.【答案】D4若ab，dc，并且(ca)(cb)0，则a，b，c，d的大小关系为()AdacbBadcbCadbc Ddcab【解析】因为ab，(ca)(cb)0，所以ac0，所以dab或abd，又dc，所以dab.综上，dac0，即乙的购买方式更优惠【答案】乙7若0ab，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_【解析】0ab且ab1，ab1且2a1，a2ba2a(1a)2a22a2.即a2ab1，即a2b2，a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，又2b10，b10，a2b2b0，a2b2b，综上，a2aba2b2b.另解：特殊值法，如取b，a.【答案】a2aba2b2b8已知aR，试比较与1a的大小【解析】(1a).当a0时，0，1a.当a1且a0时，0，1a.当a1时，0，1a.综上所述，当a0时，1a；当a1且a0时，1a；当a1时，1a.B组题1已知x1ln，x2e，x3满足ex3ln x3，则()Ax1x2x3 Bx1x3x2Cx2x1x3 Dx3x1x2【解析】已知x1lnln 20，x31，进而得到x1x2n2，所以mn4；结合定义及pq2可得或即qy，ab，则在axby，axby，axby，xbya，这五个式子中，恒成立的不等式的序号是_【解析】令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab，ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立ax6，by6，axby，因此也不成立1，1，因此不成立由不等式的性质可推出成立【答案】4设x，y为正实数，a，bp，cxy.(1)试比较a、c的大小；(2)若p1，试证明：以a，b，c为三边长一定能构成三角形；(3)若对任意的正实数x，y，不等式abc恒成立，试求p的取值范围【解析】(1)a2x2xyy2，c2x22xyy2，c2a2xy；x0，y0，xy0，即ca；(2)a，c为最大边，又(ab)2x22xyy22abx22xyy2c2，abc，从而以a，b，c为三边长一定能构成三角形(3)abc，即pxy，p，2，p2.备课札记13