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专题10 函数图像一、【知识精讲】1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a0，且a1)的图象ylogax(a0，且a1)的图象.(3)伸缩变换yf(x)yf(ax).yf(x)yAf(x).(4)翻折变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象.微点提醒记住几个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称.(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.二、【典例精练】 例1.作出下列函数的图象(1)y(2)y2x2；(3)yx22|x|1.【解析】(1)分段分别画出函数的图象，如图所示 (2)y2x2的图象是由y2x的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图所示(3)y其图象如图所示 【解法小结】作函数图象的一般方法直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出图象变换法变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换图象变换口诀如下：图象变换有谁知？平移反射和位似；平移左加与右减，上下移动值增减；反射就是轴对称，上下左右玩对称；位似缩小与放大，有个定点叫中心.描点法当上面两种方法都失效时，则可采用描点法为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出例2.(2018全国卷)函数f(x)的图象大致为()【答案】B【解析】yexex是奇函数，yx2是偶函数，f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项；当x1时，f(1)e0，排除D选项；又e2，1，排除C选项故选B. 例3.（1） (2017全国卷)函数y1x的部分图象大致为()(2)(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2，2的图象大致为()【答案】(1)D(2)D【解析】(1)法一易知g(x)x为奇函数，故y1x的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x(0，1)时，y0，排除A；当x时，y1，排除B，选项D满足.法二当x1时，f(1)11sin 12sin 12，排除A，C；又当x时，y，排除B，而D满足.(2)f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数，又f(2)8e2(0，1)，排除选项A，B；当x0时，f(x)2x2ex，f(x)4xex，所以f(0)10，所以函数f(x)在(0，2)上有解，故函数f(x)在0，2上不单调，排除C，故选D.【解法小结】1函数图象与解析式之间的4种对应关系(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y轴对称，在对称的区间上单调性相反；(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点2通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换3借助动点探究函数图象解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择考法(一)研究函数的性质例4. 【2017山东高考】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】试题分析：当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.【解法小结】利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性考法(二)在不等式中的应用例5.若不等式(x1)20，且a1)在x(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为()A(1,2B.C(1，) D(，2)【答案】A【解析】 要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需函数y(x1)2在(1,2)上的图象在ylogax的图象的下方即可当0a1时，如图，要使x(1,2)时，y(x1)2的图象在ylogax的图象的下方，只需(21)2loga2，即loga21，解得1a2，故实数a的取值范围是(1,2【解法小结】当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解三、【名校新题】1.(2019长郡中学联考)函数f(x)的图象大致为()【答案】D【解析】f(x)f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C，又f(2)0，排除A，选D.2. (2019西安月考)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A.f(x)ex1 B.f(x)ex1C.f(x)ex1 D.f(x)ex1【答案】D【解析】依题意，与曲线yex关于y轴对称的曲线是yex，于是f(x)相当于yex向左平移1个单位的结果，f(x)e(x1)ex1.3. (2019山西四校联考)已知函数f(x)|x21|，若0aln(e0)1，排除D，因而B项成立.7.（2019青岛调研）已知函数,则m的取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】若,即,或,解得或8.对于函数f(x)lg(|x2|1)，给出如下三个命题：f(x2)是偶函数；f(x)在区间(，2)上是减函数，在区间(2，)上是增函数；f(x)没有最小值.其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.0【答案】B【解析】作出f(x)的图象，可知f(x)在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以正确.9. (2019昆明检测)已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A.有最小值1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值1，无最大值D.有最大值1，无最小值【答案】C【解析】画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)g(x).综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值1，无最大值.10.(2019江淮十校联考)若直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)则f(x)的“和谐点对”有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】作出函数yx22x(x0时，函数g(x)log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x(2，8.13. (2019合肥一中质检)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_.【答案】(3，)【解析】在同一坐标系中，作yf(x)与yb的图象.当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.14. (2019安徽江淮十校联考)已知maxa，b表示a，b两数中的最大值.若f(x)maxe|x|，e|x2|，则f(x)的最小值为_.【答案】e【解析】在同一直角坐标系中，画出函数ye|x|，ye|x2|的图象(图略)，可知f(x)maxe|x|，e|x2|当x1时，f(x)exe，且当x1时，取得最小值e；当xe.故f(x)的最小值为f(1)e. 10
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