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题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:年份20142015201620172018时间代号t12345储蓄存款y/千亿元567810(1)求y关于t的回归方程y=bt+a;(2)用所求回归方程预测该地区2021年(t=8)的人民币储蓄存款.附:回归方程y=bt+a中,b=i=1ntiyi-ntyi=1nti2-nt2,a=y-bt.2.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.3.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)4.4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:min)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60 min的学生称为“读书迷”,低于60 min的学生称为“非读书迷”,(1)求x的值并估计全校3 000名学生中“读书迷”大概有多少?(将频率视为概率)(2)根据已知条件完成下面22的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关:非读书迷读书迷合计男15女45合计附K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.8285.(2019天津,文15)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工ABCDEF项目子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.6.为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图如下图,记成绩不低于70分者为“成绩优良”.(1)分别计算甲、乙两班20个样本中化学分数前十的平均分,并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳;(2)甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,求这2人来自不同班级的概率;(3)由以上统计数据填写下面22列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附:K2=n(ad-bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)(n=a+b+c+d).独立性检验临界值表:P(K2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.解(1)列表计算如下:itiyiti2tiyi11515226412337921448163255102550153655120这里n=5,t=1ni=1nti=155=3,y=1ni=1nyi=365=7.2.又ltt=i=1nti2-nt2=55-532=10,lty=i=1ntiyi-nty=120-537.2=12,从而b=ltyltt=1210=1.2,a=y-bt=7.2-1.23=3.6,故所求回归方程为y=1.2t+3.6.(2)将t=8代入回归方程可预测该地区2021年的人民币储蓄存款为y=1.28+3.6=13.2(千亿元).2.解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间与点集S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一对应.因为S中元素的个数是44=16,所以基本事件总数n=16.(1)记“xy3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy8”为事件B,“3xy516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.3.解(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50,故所求概率为502000=0.025.(2)(方法一)由题意知,样本中获得好评的电影部数是1400.4+500.2+3000.15+2000.25+8000.2+5100.1=56+10+45+50+160+51=372.故估计所求概率为1-3722000=0.814.(方法二)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1628(部).由古典概型概率公式,得P(B)=16282000=0.814.(3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.4.解(1)由已知可得:(0.01+0.02+0.03+x+0.015)10=1,可得x=0.025.因为(0.025+0.015)10=0.4,将频率视为概率,由此可以估算出全校3000名学生中“读书迷”大概有1200人.(2)完成下面的22列联表如下:非读书迷读书迷合计男401555女202545合计6040100K2=100(4025-1520)2604055458.249.由8.2496.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“读书迷”与性别有关.5.解(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6910,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种.由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F,共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=1115.6.解(1)甲班样本化学成绩前十的平均分为x甲=110(72+74+74+79+79+80+81+85+89+96)=80.9;乙班样本化学成绩前十的平均分为x乙=110(78+80+81+85+86+93+96+97+99+99)=89.4;甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分,大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳.(2)样本中成绩60分以下的学生中甲班有4人,记为a,b,c,d,乙班有2人,记为1,2.则从a,b,c,d,1,2六个元素中任意选2个的所有基本事件如下:ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12,一共有15个基本事件,设A表示“这2人来自不同班级”有如下:a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,一共有8个基本事件,所以P(A)=815.(3)甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040根据22列联表中的数据,得K2的观测值为k=40(104-1610)2261420203.9563.841,能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.9
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