（名师导学）2020版高考数学总复习 第十一章 坐标系与参数方程 第74讲 参数方程练习 理（含解析）新人教A版选修4-4

第74讲参数方程夯实基础【p168】【学习目标】1了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关的问题2掌握参数方程与普通方程的互化，会根据已知给出的参数，依据条件建立参数方程【基础检测】1将参数方程(为参数)化为普通方程为()Ayx2 Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)【解析】消去参数，转化为普通方程得yx2，其中x2，3，y0，1故选C.【答案】C2参数方程(t为参数)表示的曲线是_【解析】由xt知x2或x2，曲线方程为y2(x2或x2)，表示两条射线【答案】两条射线3在平面直角坐标系xOy中，过椭圆(为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为_【解析】椭圆的普通方程为1，则右焦点的坐标为(1，0)直线的普通方程为x2y20，过点(1，0)与直线x2y20平行的直线方程为x2y10.由得4x22x110，所以所求的弦长为.【答案】4已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值【解析】直线l1的普通方程为yx，斜率为；直线l2的普通方程为y2x1，斜率为2.l1与l2垂直，(2)1k1.【知识要点】1参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即_，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)0叫做普通方程2参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：_消去参数_，消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致3直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆(xa)2(yb)2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)双曲线1(为参数)抛物线y22px(p0)(t为参数)典例剖析【p168】考点1参数方程与普通方程的互化已知曲线C1的参数方程是(为参数)，曲线C2的参数方程是(t为参数)(1)将曲线C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)求曲线C1上的点到曲线C2的距离的最大值和最小值【解析】(1)曲线C1的参数方程是(为参数)，则cos ，sin2cos21，可得y21，曲线C1的普通方程是y21；曲线C2的参数方程是(t为参数)，消去参数t，t3x，代入y，即2x3y100，曲线C2的普通方程是2x3y100.(2)设点P(2cos ，sin )为曲线C1上任意一点，则点P到直线2x3y100的距离为d，则d，sin()1，1，d，dmax，dmin.【点评】(1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响考点2直线与圆的参数方程及应用在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3的交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.【点评】(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即|t|PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2)(2)对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题考点3参数方程与极坐标方程的综合问题在直角坐标系xOy中，直线l过点P(4，0)，倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是42sin22cos240.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，当|PA|PB|最大时，求出直线l的直角坐标方程【解析】(1)直线l的参数方程为(t为参数)，把代入曲线C的极坐标方程可得直角坐标方程为y21.(2)设A，B对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得(4sin2cos2)t2(8cos )t120，因为有两个交点，所以64cos248(4sin2cos2)0，解得0sin2，|PA|PB|t1t2|，当sin 0时，|PA|PB|最大，此时ktan 0，所以直线l的直角坐标方程为y0.方法总结【p169】1选取参数时的一般原则是：(1)x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一确定x，y的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数2求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x，y)；(2)选择适当的参数；(3)找出x，y与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略)3根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|t1t2|；(2)若M0为线段M1M2的中点，则有t1t20；(3)若线段M1M2的中点为M，则M0MtM.一般地，若点P分线段M1M2所成的比为，则tP.4直线的参数方程的一般式(t为参数)，是过点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程当且仅当a2b21且b0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义将非标准方程化为标准方程是(tR)，式中“”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负5参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的6在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解7在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解8在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解走进高考【p170】1(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.【解析】(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30，由解得或从而C与l的交点坐标为(3，0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a16.综上，a8或a16.2(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程【解析】(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.考点集训【p278】A组题1求直线(t为参数)被曲线(为参数)所截得的弦长【解析】直线方程可化为xy0，曲线方程可化为x21.由得x2x0，x0或x1.可得交点为A(0，)，B(1，0)AB2.所截得的弦长为2.2直线(t为参数)与圆(为参数)相切，求切线的倾斜角【解析】直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，直线与圆相切，则圆心(2，0)到直线的距离为，从而有，即3a23b24b2，ba，而直线的倾斜角的正切值为tan ，tan ，因此切线的倾斜角为或.3已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程：(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程【解析】直线l的直角坐标方程为xy0.原点到直线的距离r1.以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为1.4在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，求AB的长【解析】直线l的极坐标方程(sin 3cos )0化为直角坐标方程为3xy0，曲线C的参数方程两式经过平方相减，化为普通方程为y2x24，联立解得或所以A，B.所以|AB|2.5已知曲线C1：(t为参数)，C2：(为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值【解析】(1)C1：(x4)2(y3)21，C2：1，C1为圆心是(4，3)，半径是1的圆，C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，P(4，4)，Q(8cos ，3sin )，故M，C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|5sin()13|，从而当cos ，sin 时，d取得最小值.6在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为92cos2162sin2144，且直线l与曲线C交于P，Q两点(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标；(2)在(1)的条件下，若9，求直线l的普通方程【解析】(1)因为xcos ，ysin ，所以C：1.直线l恒过的定点为A(2，0)(2)把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中得：(97sin2)t236tcos 9120.由t的几何意义知|AP|t1|，|AQ|t2|.因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以t1t2，因为9，即9，所以sin2，因为(0，)，所以tan ，因此，直线l的方程为y(x2)B组题1已知曲线C1的极坐标方程为2，曲线C1经过坐标变换得到曲线C2，直线l的参数方程为(t为参数，tR)(1)求直线l的普通方程和曲线C1的直角坐标方程；(2)若P为曲线C2上的点，求点P到直线l的距离的最大值【解析】(1)直线l的普通方程为xy20，曲线C1的直角坐标方程为3x24y212，即1.(2)由题意知，曲线C2的方程为x2y21，其圆心C2(0，0)，半径r1，所以圆心C2到直线l的距离d，所以点P到直线l的距离的最大值为d11.2已知曲线C：(k为参数)和直线l：(t为参数)(1)将曲线C的方程化为普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，且P(2，1)为弦AB的中点，求弦AB所在直线的方程【解析】(1)由y，得1，即1.又x，所以k，代入x，得x，整理得1，即曲线C的普通方程为1.(2)将代入1，整理得(4sin2cos2)t2(4cos 8sin )t80.由P为AB的中点，得0，所以cos 2sin 0，即tan ，故直线AB：y1(x2)，即x2y40.所以所求直线的方程为x2y40.3将圆x2y21上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：sin3，且直线l在直角坐标系中与x，y轴分别交于A，B两点(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)问在曲线C上是否存在点P，使得ABP的面积SABP3，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)曲线C：1，故曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的普通方程为：xy60.(2)设曲线C上点P(4cos ，3sin )，点P到直线l的距离为d，则d，故SABP63，当sin()1时取等号，即sin ，cos ，此时P.4在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a0，为参数)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin.(1)若曲线C上的点到直线l的距离的最小值为1，求实数a的值；(2)若A，B为曲线C上的两点，且AOB，求OAB的周长的最大值【解析】(1)曲线C是以为圆心，以a为半径的圆；直线l的直角坐标方程为xy30.若曲线C上的点到直线l的距离的最小值为1，则有a1，解得a.故所求实数a的值为.(2)由题意，曲线C的极坐标方程为2acos ，设A的极角为，B的极角为，则：，由正弦定理得：2a，所以a，所以ABO的周长为CABOa，而coscos sin cos sin，所以当时，coscos 取得最大值.所以OAB的周长的最大值为3a.16