（名师导学）2020版高考数学总复习 第七章 不等式、推理与证明 第42讲 合情推理与演绎推理练习 理（含解析）新人教A版

第42讲合情推理与演绎推理夯实基础【p90】【学习目标】1结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用2通过具体实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异【基础检测】1有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”，结论显然是错误的，这是因为()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误【解析】在推理过程“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a”中，直线平行于平面，则平行于平面内所有直线为大前提，由线面平行的性质易得，直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面，这是一个假命题，故这个推理过程错误的原因是：大前提错误【答案】A2对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：2213，32135，421357，2335，337911，4313151719.根据上述分解规律，若m213511，n3的分解中最小的正整数是21，则mn()A10 B11 C12 D13【解析】m213511636，m6，2335，337911，4313151719，532123252729，n3的分解中最小的正整数是21，n353，n5，mn6511.【答案】B3在平面直角坐标系中，方程1表示在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为()A.1 B.1C.1 Daxbycz1【解析】由类比推理得：若平面在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a，b，c，则该平面的方程为：1.【答案】A4一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A丁B丙C乙D甲【解析】甲乙丙丁甲乙丙丁由四名嫌疑人所说，得上面的表，由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符所以乙说假话，小偷不是丙同时丁说的也是假话即甲、丙说的是真话，小偷是乙【答案】C【知识要点】1合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理当前提为真时，结论可能为真的推理叫_合情推理_数学中常见的合情推理有：_归纳推理和类比推理_(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为_归纳推理_(简称归纳)简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为_类比推理_(简称类比)简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理2演绎推理(1)定义：演绎推理是根据_已有的事实的正确的结论_(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)演绎推理的一般模式“三段论”大前提已知的一般性的原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断典例剖析【p90】考点1归纳推理(1)已知x0，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为()An2 Bnn C2n D22n2【解析】由题意，当分母的指数为1时，分子为111；当分母的指数为2时，分子为224；当分母的指数为3时，分子为3327；据此归纳可得：xn1中，a的值为nn.【答案】B(2)观察下列等式：cos 22cos21；cos 48cos48cos21；cos 632cos648cos418cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mcos101 280cos81 120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_【解析】观察得：式子中所有项的系数和为1，m1 2801 120np11，mnp162，又p10550，m29512，n400，mnp962.【答案】962(3)如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1，2，3，)，则在第n个图形中共有()个顶点A(n1)(n2) B(n2)(n3)Cn2 Dn【解析】第一个图形由三角形“扩展”而来，共有顶点3333(31)；第二个图形由四边形“扩展”而来，共有顶点4444(41)；第三个图形由五边形“扩展”而来，共有顶点5555(51)；第四个图形由六边形“扩展”而来，共有顶点6666(61)；第n个图形由n2边形“扩展”而来，共有顶点(n2)(n2)(n2)(n2)(n3)故选B.【答案】B【点评】归纳推理问题的常见类型及解题策略常见类型解题策略与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号求解与式子有关的推理观察每个式子的特点，找到规律后求解与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性考点2类比推理(1)在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立类比以上性质，相应地在等比数列bn中，若b91，则成立的等式是()Ab1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)Bb1b2bnb1b2b18n(n18，nN*)Cb1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)Db1b2bnb1b2b18n(n18，nN*)【解析】在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1.又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana19a18an1a1a2a19n.若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n(n0，那么该函数在(0，上是减函数，在(，)上是增函数(1)如果函数yx(x0)的值域为6，)，求b的值；(2)研究函数yx2(常数c0)在定义域内的单调性，并说明理由【解析】(1)用三段论方式进行说明yx有如下性质：如果常数a0，那么该函数在上是减函数，在(，)上是增函数又yx(x0)中，2b0为常数yx是“yx(a0)型”函数，yx在上是减函数，在(，)上是增函数，当x时，yx取最小值，又yx的值域为6，)，6，即3，2b9blog29.(2)设f(x)yx2，则xR且x0，有f(x)f(x)，故f(x)为偶函数先研究x0时的单调性，然后根据偶函数的性质求x0时，令tx2，则yt(c0)，则yt在(0，)上是减函数，在上是增函数yx2(x0，c0)在上是减函数，在上是增函数，根据偶函数性质，得yx2在上是减函数，在，0)上是增函数【点评】演绎推理是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论方法总结【p91】1合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程3演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行4注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明走进高考【p91】1(2015山东)观察下列各式：C40；CC41；CCC42；CCCC43；照此规律，当nN*时，CCCC_【解析】观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有CCCC4n1.【答案】4n12(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩【解析】依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.【答案】D考点集训【p223】A组题1因为对数函数ylogax(a0且a1)是增函数，而ylogx是对数函数，所以ylogx是增函数，上面的推理错误的是()A大前提B小前提C推理形式D以上都是【解析】大前提“对数函数ylogax(a0且a1)是增函数”是错误的，只有当a1时，对数函数ylogax(a0且a1)才是增函数【答案】A2下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，则第n个图形中小正方形的个数是()A2n1 Bn21C2n1 D.【解析】由题图知第n个图形的小正方形个数为123n.总个数为.【答案】D3在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的()A.B.C.D.【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下的结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的，证明如下：球心到正四面体的一个面的距离即为球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4SrSh，解得rh，所以正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的.【答案】A4“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c(abc且a，b，cN*)，选手最终得分为各项得分之和已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是()A甲B乙C丙D乙和丙都有可能【解析】射击击剑游泳马术越野跑总分甲5552522乙111519丙222129总分为5(abc)229940，所以abc8，只有两种可能521或431.显然431不符，因为即使五个第一名也不够22分所以a5，b2，c1.所以由上面可知，甲其余四个选项都是第一名，马术第二名，记2分，总共22分由于丙马术第三名，记1分，所以其余四项均第二名，记2分，共9分乙马术第一名，记5分，其余四项均第三名，记1分，共9分【答案】B5在正项等差数列中有成立，则在正项等比数列中，类似的结论为_【解析】结合等差数列和等比数列的性质，类比题中的结论可得：在正项等比数列中，类似的结论为.【答案】6甲、乙、丙三人到户外植树，三人分工合作，一人挖坑和填土，一人施肥，一人浇水，他们的身高各不同，现了解到以下情况：甲不是最高的；最高的没浇水；最矮的施肥；乙不是最矮的，也没挖坑和填土可以判断丙的分工是_(从挖坑和填土，施肥，浇水中选一项)【解析】由可知，乙浇水，由可知，丙是最高的，所以丙的分工是挖坑和填土【答案】挖坑和填土7在锐角三角形ABC中，求证：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.【解析】ABC为锐角三角形，AB，AB，ysinx在上是增函数，sin Asincos B，同理可得sin Bcos C，sin Ccos A，sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.8将各项均为正数的数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示记表中各行的第一个数a1，a2，a4，a7，构成数列bn，各行的最后一个数a1，a3，a6，a10，构成数列cn，第n行所有数的和为Sn(n1，2，3，4，)已知数列bn是公差为d的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序，每一个数与它前面一个数的比是常数q，且a1a131，a31.(1)求数列cn，Sn的通项公式；(2)求数列cn的前n项和Tn的表达式【解析】(1)bndnd1，前n行共有123n个数，因为133，所以a13b5q2，即(4d1)q21，又因为313，所以a31b8q2，即(7d1)q2，解得d2，q，所以bn2n1，cnbn，Sn(2n1).(2)Tn，Tn.，得Tn12122，所以Tn3.B组题1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76 C123 D199【解析】记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.【答案】C2如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S(R2r2)(Rr)2.所以，圆环的面积等于以线段ABRr为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2为长的矩形面积请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M(x，y)|(xd)2y2r2(其中0rd)绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是()A2r2d B22r2dC2rd2 D22rd2【解析】平面区域M的面积为r2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为r2)为底，以O为圆心、d为半径的圆的周长2d为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积Vr22d22r2d.【答案】B3分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路按照如图所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：若记图乙中第n行白圈的个数为an，则an_【解析】根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，第一行记为(1，0)，第二行记为(2，1)，第三行记为(5，4)，第四行的白圈数为25414；黑圈数为52413，第四行的”坐标”为(14，13)；第五行的”坐标”为(41，40)，各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即11，31，91，271，811，可以归纳出第n行的白圈数为an(nN*)【答案】(nN*)4某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【解析】(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)法一：三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sincos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二：三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.15