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18圆锥曲线的标准方程与几何性质1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是().A.3-1B.2-3C.2-1D.2-2解析根据题意,设F(c,0),又由OAF是等边三角形,得Ac2,32c.因为点A在椭圆上,所以c24a2+3c24b2=1.又a2=b2+c2,联立,解得c=(3-1)a,则其离心率e=ca=3-1,故选A.答案A2.直线l:x-2y-5=0过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线的方程为().A.x220-y25=1B.x25-y220=1C.x24-y2=1D.x2-y24=1解析对于直线l,令y=0,得x=5,即c=5.又ba=12,所以a2=20,b2=5,所以双曲线的方程为x220-y25=1,故选A.答案A3.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=9,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为().A.627B.1827C.427D.227解析设P(x0,y0),因为抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,|PM|=9,根据抛物线的定义,可得x0=8,所以y0=42.又点P在第一象限,所以P(8,42),所以kPF=427,故选C.答案C4.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为().A.2B.3C.6D.8解析设P(x0,y0),则x024+y023=1,即y02=31-x024.又F(-1,0),所以OPFP=x0(x0+1)+y02=14x02+x0+3=14(x0+2)2+2.因为x0-2,2,所以(OPFP)max=6,故选C.答案C能力1巧用定义求解曲线问题【例1】已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是().A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线的右支解析因为N为F1M的中点,O为F1F2的中点,所以F2M=2ON=2.因为点P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|,因此|PF1|-|PF2|=F2M=2ON=2,即点P的轨迹是双曲线的右支,故选D.答案D求轨迹方程的常用方法:一是定义法,动点满足圆或圆锥曲线的定义;二是直接法,化简条件即得;三是转移法,除所求动点外,一般还有已知轨迹的动点,寻求两者之间的关系是关键;四是交轨法或参数法,如何消去参数是解题关键,且需注意消参过程中的等价性.椭圆x212+y23=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若线段PF2的中点在y轴上,则|PF2|是|PF1|的().A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解析设线段PF2的中点为D,则|OD|=12|PF1|,ODPF1,ODx轴,PF1x轴,|PF1|=b2a=323=32.又|PF1|+|PF2|=43,|PF2|=43-32=732,|PF2|是|PF1|的7倍,故选A.答案A能力2会用有关概念求圆锥曲线的标准方程【例2】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是().A.x212-y2=1B.x29-y23=1C.x2-y23=1D.x223-y232=1解析由题意可得2a2-3b2=1,ba=3,解得a=1,b=3,双曲线C的标准方程是x2-y23=1,故选C.答案C渐近线、焦点、顶点、准线等是圆锥曲线的几何性质,这些性质往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,只有正确把握和理解这些性质,才能通过待定系数法求解圆锥曲线的方程.已知双曲线y2a2-x2b2=1的离心率为2,且双曲线与抛物线x2=-43y的准线交于A,B两点,SABO=3,则双曲线的实轴长为().A.2B.2C.22D.42解析因为抛物线的方程为x2=-43y,所以准线方程为y=3.因为SABO=3,所以122|xA|3=3,所以xA=1,所以A(1,3)或A(-1,3).因为双曲线y2a2-x2b2=1的离心率为2,所以a=b,所以3a2-1a2=1,故a=2,因此双曲线的实轴长为22,故选C.答案C能力3会用几何量的关系求离心率【例3】已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,y轴上的点P在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若|OM|=|MF1|=33|OP|,则椭圆E的离心率为().A.12B.32C.3-1D.3+12解析因为|OM|=|MF1|=33|OP|,所以F1PO=30, MF1F2=60,连接MF2 ,则可得三角形MF1F2为直角三角形.在RtMF1F2中,易知MF1=c,MF2=3c,则c+3c=2a,所以离心率e=ca=21+3=3-1,故选C.答案C求离心率一般有以下几种方法:直接求出a,c,从而求出e;构造a,c的齐次式,求出e;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解.本题中,根据特殊直角三角形可以建立关于焦半径和焦距的关系,从而找出a,c之间的关系,求出离心率e.过双曲线x2a2-y2b2=1(ab0)的左焦点F作某一渐近线的垂线,分别与两条渐近线相交于A,B两点,若|AF|BF|=12,则双曲线的离心率为().A.233B.2C.3D.5解析因为ab0,所以交点A,B在F的两侧.由|AF|BF|=12及角平分线定理知|AO|BO|=|AF|BF|=12.由ABAO知cosAOB=|OA|OB|=12,所以AOB=60,AOF=30,据此可知渐近线的方程为y=33x,而双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax,故ba=33,则双曲线的离心率e=1+ba2=233,故选A.答案A能力4能紧扣圆锥曲线的性质求最值或取值范围【例4】设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为().A.33B.23C.22D.1解析设Py022p,y0,由题意知Fp2,0,显然当y00,则OM=OF+FM=OF+13FP=OF+13(OP-OF)=13OP+23OF=y026p+p3,y03,可得kOM=y03y026p+p3=2y0p+2py0222=22,当且仅当y02=2p2,即y0=2p时取等号,故选C.答案C解题时一定要注意分析条件,根据条件|PM|=2|MF|,利用向量的运算可知My026p+p3,y03,从而写出直线的斜率的表达式,注意均值不等式的使用,特别是要分析等号是否成立,否则易出问题.如图,圆O与离心率为32的椭圆T:x2a2+y2b2=1(ab0)相切于点M(0,1),过点M引两条互相垂直的直线l1,l2,两条直线与两曲线分别交于点A,C与点B,D(均不重合).若P为椭圆上任意一点,记点P到两条直线的距离分别为d1,d2,则d12+d22的最大值是().A.4B.5C.163D.253解析易知椭圆T的方程为x24+y2=1,圆O的方程为x2+y2=1.设P(x0,y0),因为l1l2,所以d12+d22=PM2=x02+(y0-1)2.又因为x024+y02=1,所以d12+d22=4-4y02+(y0-1)2=-3y0+132+163.因为-1y01,所以当y0=-13时,d12+d22取得最大值163,此时点P的坐标为423,-13,故选C.答案C一、选择题1.抛物线y=4x2的准线方程为().A.y=-1B.y=1C.y=116D.y=-116解析将y=4x2化为x2=14y,则该抛物线的准线方程为y=-116,故选D.答案D2.已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y23=1的离心率为12,则m=().A.6B.6C.4D.2解析由焦点在x轴上的椭圆x2m+y23=1,可得a=m,c=m-3.由离心率为12可得m-3m=12,解得m=4,故选C.答案C3.已知椭圆的中心在原点,离心率e=12,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则椭圆的方程为().A.x24+y23=1B.x28+y26=1C.x22+y2=1D.x24+y2=1解析由题意可设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以c=1.又离心率e=ca=12,解得a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为x24+y23=1,故选A.答案A4.已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是().A.5-12,1B.0,5-12C.3-12,1D.0,3-12解析设正方形ABCD的边长为2m,因为椭圆的焦点在正方形的内部,所以mc.又正方形的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1上,所以m2a2+m2b2=1c2a2+c2b2=e2+c2a2-c2=e2+e21-e2,所以e4-3e2+10,所以e23-52=1-522,所以0e0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2-y2=2相交于M,N两点,若MNF为正三角形,则抛物线C的标准方程为().A.y2=26xB.y2=46xC.x2=46yD.x2=26y解析将y=p2代入双曲线x2-y2=2中,可得x=2+p24.MNF为正三角形,p=3222+p24.p0,p=26,抛物线C的方程为x2=46y,故选C.答案C6.设F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点,P是C上的点,圆x2+y2=a29与直线PF交于A,B两点,若A,B是线段PF的两个三等分点,则椭圆C的离心率为().A.33B.53C.104D.175解析如图,取AB的中点H,设椭圆另一个焦点为E,连接PE,OH,OA.且H是AB的中点,OHAB.A,B三等分线段PF,设|OH|=d,则|PE|=2d,|PF|=2a-2d,|AH|=a-d3,于是在RtOHA中,|OA|2=|OH|2+|AH|2,解得a=5d.于是在RtOHF中,|FH|=45a,|OH|=15a,|OF|=c,由|OF|2=|OH|2+|FH|2,化简得17a2=25c2,则ca=175.即椭圆C的离心率为175.故选D.答案D7.已知F1、F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,F1的坐标为(-7,0),双曲线右支上的点P满足|PF1|-|PF2|=4,则双曲线的渐近线方程为().A.y=32xB.y=232xC.y=34xD.y=43x解析F1的坐标为(-7,0),c=7.双曲线右支上的点 P满足|PF1|-|PF2|=4,2a=4,即a=2,b2=c2-a2=7-4=3,即b=3,则双曲线的渐近线方程为y=32x,故选A.答案A8.已知F1、F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点 A、B.若ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为().A.4B.7C.233D.3解析设|AB|=m,则|BF1|-|BF2|=|AF1|=2a,所以|AF2|-|AF1|=m-2a=2a,m=4a,因此4c2=(4a+2a)2+(4a)2-26a4acos3,所以4c2=28a2,e2=7,所以e=7,故选B.答案B9.已知F1、F2是双曲线x2a2-y26=1(a0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B,若|AF1|=2a,F1AF2=23,则SF1BF2=().A.6B.62C.63D.12解析由双曲线的定义,得|AF2|-|AF1|=2a.又|AF1|=2a,则|AF2|=4a,在F1AF2中,4c2=4a2+(4a)2+22a4a12,即c2=7a2,即a2+6=7a2,解得a=1.因为|BF1|-|BF2|=2,且|BF1|-|BA|=2,所以|BA|=|BF2|.又F2AB=3,所以BAF2为等边三角形.因为|AF2|=4,所以SF1BF2=SABF2+SAF1F2=124232+122432=63,故选C.答案C10.已知F是抛物线x2=4y的焦点,P为抛物线上的动点,且点A的坐标为(0,-1),则|PF|PA|的最小值是().A.14B.12C.22D.32解析由题意可得,抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.过点P作PM垂直于准线,M为垂足,则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,则|PF|PA|=|PM|PA|=sinPAM,PAM为锐角.当PAM最小时,|PF|PA|最小,则当PA和抛物线相切时,|PF|PA|最小.设切点P(2a,a),又y=x24的导数为y=x2,则PA的斜率为122a=a=a+12a,a=1,则P(2,1),|PM|=2,|PA|=22,sinPAM=|PM|PA|=22,故选C.答案C二、填空题11.若抛物线y2=ax(a0)上的点P32,y0到焦点F的距离为2,则a=.解析由题意得抛物线的焦点坐标为a4,0,准线方程为x=-a4,由抛物线的焦半径公式得|PF|=x0+p2=32+a4=2,解得a=2.答案212.若M为双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)右支上一点,A和F分别为双曲线C1的左顶点和右焦点,且MAF为等边三角形,双曲线C1与双曲线C2:x24-y2(b)2=1(b0)的渐近线相同,则双曲线C2的虚轴长是.解析由题意知,A(-a,0),F(c,0),Mc-a2,3(c+a)2.(c-a)24a2-3(c+a)24b2=1,3(c+a)24(c2-a2)=(c-a)24a2-1=(c-3a)(c+a)4a2,3c-a=c-3aa2,c2=4ac,e=4,即ca=4,ba=15.又双曲线C1与双曲线C2的渐近线相同,b2=15,b=215,则双曲线C2的虚轴长是415.答案41513.如图,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围是.解析抛物线的准线的方程为x=-2,焦点为F(2,0),由抛物线的定义可得|AF|=xA+2.又圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB.由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为2,xB(2,6),FAB的周长6+xB(8,12).答案(8,12)11
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