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专题10 基本不等式的应用【母题来源一】【2019年江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .【答案】4【解析】设P点的坐标是，则点P到直线x+y=0的距离是，当且仅当，即时等号成立，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.故答案为【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.利用基本不等式即可求解.【母题来源二】【2018年江苏】在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”不等式的另一边必须为定值）、“等（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.【母题来源三】【2017年江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是_【答案】30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立【名师点睛】利用基本不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”【命题意图】（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.【命题规律】基本不等式是高考考查的热点，常以填空题的形式出现通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解（2）条件不等式问题通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解（3）求参数的值或范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.【方法总结】利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等常见的变形手段有拆、并、配.拆裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件并分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值配配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.（4）基本不等式的常用变形ab2(a0，b0)，当且仅当ab时，等号成立a2b22ab，ab2(a，bR)，当且仅当ab时，等号成立2(a，b同号且均不为零)，当且仅当ab时，等号成立a2(a0)，当且仅当a1时，等号成立；a2(a0)，当且仅当a1时，等号成立1【江苏省苏锡常镇2019届高三教学情况调研数学试题】已知，且，则的最小值是_【答案】【解析】，当且仅当时取等号.因此的最小值是2【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港）2019届高三年级第一次质量检测数学试题】已知，且，则的最大值为_【答案】【解析】化为，即，解得：，所以的最大值为.故答案为.3【江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研数学试题】设，向量a，若，则的最小值为_【答案】9【解析】因为，所以4x+（1x）y=0，又x0，y0，所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5+9当且仅当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立则（x+y）min=9故答案为94【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模）数学试题】在等腰中，则面积的最大值为_【答案】4【解析】以为轴，以的垂直平分线为轴，设，当且仅当，即时等号成立，则面积的最大值为4.故答案为45【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】已知正实数，b满足b1，则的最小值为_【答案】11【解析】因为，且都是正实数，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.6【江苏省扬州市2019届高三第一学期期末检测数学试题】已知正实数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由题意知x+4yxy0，即x+4yxy，等式两边同时除以xy得，由基本不等式可得，当且仅当，即当x2y=6时，等号成立，所以，x+y的最小值为9因此，m9故答案为7【天津市部分区2019年高三质量调查数学试题】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则周长的最大值是_【答案】【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，因此，故周长的最大值是8【天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考数学试题】已知直线被圆截得的弦长为，则的最大值为_【答案】【解析】圆可化为，则圆心为,半径为，又因为直线被圆截得的弦长为，所以直线过圆心,即，即，当且仅当时取等号，的最大值为.故答案为.9【河南省名校联考2019届高三联考（四）数学试题】已知的内角，的对边分别为，且满足.若，则当取得最小值时，的外接圆的半径为_【答案】【解析】由正弦定理得，由余弦定理得，即当时，取得最小值为，此时，设外接圆半径为，由正弦定理得，解得.故当取得最小值时，的外接圆的半径为.10【天津市河北区2019届高三二模数学试题】已知首项与公比相等的等比数列中，满足，则的最小值为_【答案】1【解析】设等比数列的公比为，则首项，由得，则，则（当且仅当，即时取等号），.故答案为1.11【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学试题】如图，点在的边上，且，则的最大值为_【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，即，整理得到，两边平方后有，所以，即，整理得到，设，所以，因为，所以，则，当且仅当，时等号成立，故答案为.9
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