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1专题专题 2323正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理一、【知识精讲】一、【知识精讲】1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asinAbsinBcsinC2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2RsinA，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sinAa2R，sinBb2R，sinCc2R；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosAb2c2a22bc；cosBc2a2b22ac；cosCa2b2c22ab2.SABC12absinC12bcsinA12acsinBabc4R12(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAabab解的个数一解两解一解一解无解微点提醒1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sinC；(2)cos(AB)cosC；(3)sinAB2cosC2；(4)cosAB2sinC2.2.三角形中的射影定理在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB.23.在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsinAsinBcosAcosB.二、【典例精练】二、【典例精练】考点一利用正、余弦定理解三角形【例 1】(1)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b 6，c3，则A_.(2)(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为a2b2c24，则C()A.2B.3C.4D.6【答案】(1)75(2)C【解析】(1)由正弦定理，得 sinBbsinCc632322，结合bc得B45，则A180BC75.(2)因为a2b2c22abcosC，且SABCa2b2c24，所以SABC2abcosC412absinC，所以 tanC1.又C(0，)，故C4.【解法小结】1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二判断三角形的形状【例 2】(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()3A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【答案】(1)A(2)B【解析】(1)由cbcosA，得sinCsinB0，所以 sinCsinBcosA，即 sin(AB)sinBcosA，所以 sinAcosB0，所以 cosB0，sinA1，即A2，ABC为直角三角形.【解法小结】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度 1与三角形面积有关的问题【例 31】(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sinA 3cosA0，a2 7，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积.【解析】(1)由 sinA 3cosA0 及 cosA0，得 tanA 3，又 0A，所以A23.由余弦定理，得 284c24ccos23.4即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD2，所以BADBACCAD6.故ABD与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD1.又ABC的面积为1242sinBAC2 3，所以ABD的面积为 3.角度 2与三角形周长有关的问题【例 32】(2018 江苏)在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为【答案】9【解析】因为，的平分线交于点，所以，由三角形的面积公式可得，化简得，又，所以，则，当且仅当时取等号，故的最小值为 9【解法小结】1.对于面积公式S12absinC12acsinB12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【思维升华】1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在ABC中，若a2b2c2，由 cosCa2b2c22abb，则B()A.6B.3C.23D.56【答案】A【解析】asinBcosCcsinBcosA12b，根据正弦定理可得 sinAsinBcosCsinCsinBcosA12sinB，即 sinB(sinAcosCsinCcosA)12sinBsinB0，sin(AC)12，即 sinB12.ab，AB，即B为锐角，B6.3.(2019山西五校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosAacosBc2，a6b2，则ABC的周长为()A7.5B7C6D5【答案】D【解析】bcos Aacos Bc2，由余弦定理可得 bb2c2a22bcaa2c2b22acc2，整理可得 2c22c3，解得 c1，则ABC 的周长为 abc2215.4.(2019枣庄二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，则A()A.6B.3C.56D.23【答案】B【解析】(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，由正弦定理得(ab)(ab)c(cb)，即b2c2a2bc.所以 cosAb2c2a22bc12，又A(0，)，所以A3.5(2019山西大同联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2(bcosAacosB)c2，b3,3cosA1，则a()A.5B3C.10D4【答案】B【解析】由正弦定理可得 2(sinBcosAsinAcosB)csinC，2(sinBcosAsinAcosB)2sin(AB)2sinC，2sinCcsinC，sinC0，c2，由余弦定理得a2b2c22bccosA3222232139，a3.6.(2019开封模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A3，3sin2CcosC2sinAsinB，且b6，则c()A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】在ABC中，A3，b6，a2b2c22bccosA，即a236c26c，7又3sin2CcosC2sinAsinB，3c2cosC2ab，即 cosC3c22aba2b2c22ab，a2364c2，由解得c4 或c6(不合题意，舍去).因此c4.7.(2019郑州二模)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若 2cos2AB2cos 2C1，4sinB3sinA，ab1，则c的值为()A.13B.7C.37D.6【答案】A【解析】由 2cos2AB2cos 2C1，可得 2cos2AB21cos 2C0，则有 cos 2CcosC0，即 2cos2CcosC10，解得 cosC12或 cosC1(舍)，由 4sinB3sinA，得 4b3a，又ab1，联立，得a4，b3，所以c2a2b22abcosC1691213，则c 13.8（江西省红色七校 2019 届高三第一次联考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cossin3baCC，2a，2 63c，则角C（）A34B3C6D4【答案】D【解析】由正弦定理可得sinB=sinAcosC+33sinAsinC,由sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC,所以有tanA=3，A=3,再有正弦定理得：232=2 63sinC,sinC=22，c a,C A,C=49.(2019广州调研)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b 7，c4，cosB34，则ABC的面积等于()A3 7B.3 728C9D.92【答案】3 72【解析】由余弦定理b2a2c22accosB，代入数据，得a3，又 cosB34，B(0，)，所以 sinB74，所以SABC12acsinB3 72.10(2019安徽名校联盟联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc1，b2ccosA0，则当角B取得最大值时，ABC的周长为()A2 3B2 2C3D3 2【答案】A【解析】由b2ccosA0，得b2cb2c2a22bc0，整理得 2b2a2c2.由余弦定理，得 cosBa2c2b22aca23c24ac2 3ac4ac32，当且仅当a 3c时等号成立，此时角B取得最大值，将a 3c代入2b2a2c2可得bc.又因为bc1，所以bc1，a 3，故ABC的周长为 2 3.11.（湖北省重点高中联考协作体 2019 届高三上学期期中考试）ABC中有：若AB，则；若22sin Asin B，则ABC定为等腰三角形；若，则ABC定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】由正弦定理及大对大角可知正确；或ABC是直角三角形或等腰三角形；所以错误；由已知及余弦定理可得22222222acbbcaabcacbc，化简得222abc，所以正确.故选 C.12.(2019武汉模拟)在ABC中，C23，AB3，则ABC的周长为()A.6sinA3 3B.6sinA6 3C.2 3sinA3 3D.2 3sinA6 3【答案】C9【解析】设ABC的外接圆半径为R，则 2R3sin232 3，于是BC2RsinA2 3sinA，AC2RsinB2 3sin3A.于是ABC的周长为 2 3 sinAsin3A32 3sinA3 3.13.(2018泰安二模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cb2casinAsinBsinC，则角B_.【答案】4【解析】由正弦定理可得cb2casinAsinBsinCabc，c2b2 2aca2，c2a2b2 2ac，cosBa2c2b22ac22，0B，B4.14.(2019合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC的三个 内角A，B，C的对边 分别为a，b，c，面积 为S，则“三斜求 积”公式为S14a2c2a2c2b222.若a2sinC4sinA，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为_.【答案】3【解析】根据正弦定理及a2sinC4sinA，可得ac4，由(ac)212b2，可得a2c2b24，所以SABC14a2c2a2c2b22214（164）3.15.(2019荆州一模)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2 2，cosA34，sinB2sinC，则ABC的面积是_.【答案】7【解析】由 sinB2sinC，cosA34，A为ABC一内角可得b2c，sinA 1cos2A74，10由a2b2c22bccosA，可得 84c2c23c2，解得c2(舍负)，则b4.SABC12bcsinA122474 7.16.(2019长春一模)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若12bsinCcosAsinAcosC，且a2 3，则ABC面积的最大值为_.【答案】3 3【解析】因为12bsinCcosAsinAcosC，所以12bcosAsinCcosAsinAcosC，所以12bcosAsin(AC)，所以12bcosAsinB，所以cosA2sinBb，又sinBbsinAa，a2 3，所以cosA2sinA2 3，得 tanA 3，又A(0，)，则A3，由余弦定理得(2 3)2b2c22bc12b2c2bc2bcbcbc，即bc12，当且仅当bc23时取等号，从而ABC面积的最大值为1212323 3.17(2019绵阳模拟)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若 sinBsinC1，试判断ABC的形状【解析】(1)由已知，结合正弦定理，得 2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.又由余弦定理，得a2b2c22bccosA，所以bc2bccosA，即 cosA12.由于A为ABC的内角，所以A23.(2)由已知 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC，11结合正弦定理，得 2sin2A(2sinBsinC)sinB(2sinCsinB)sinC，即 sin2Asin2Bsin2CsinBsinCsin22334.又由 sinBsinC1，得 sin2Bsin2C2sinBsinC1，所以 sinBsinC14，结合 sinBsinC1，解得 sinBsinC12.因为BCA3，所以BC6，所以ABC是等腰三角形18.(2019潍坊一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a2c)cosBbcosA0.(1)求B；(2)若b3，ABC的周长为 32 3，求ABC的面积.【解析】(1)由已知及正弦定理得(sinA2sinC)cosBsinBcosA0，(sinAcosBsinBcosA)2sinCcosB0，sin(AB)2sinCcosB0，又 sin(AB)sinC，且C(0，)，sinC0，cosB12，0B，B23.(2)由余弦定理，得 9a2c22accosB.a2c2ac9，则(ac)2ac9.abc32 3，b3，ac2 3，ac3，SABC12acsinB123323 34.12
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