《导数与积分》单元复习教学设计说课教案

把握考点，层层递进，实现难点突破浅谈一轮复习导数与积分教学设计在中学数学的新课程中，导数单元作为初等数学和高等数学重要的衔接点，显得格外引人瞩目. 导数的思想及其内涵丰富了对函数等问题的研究方法，已经成为近几年全国各地高考数学的一大热点. 另外，导数又具有很强的知识交汇功能，因此在高考中导数与积分是一个极其重要的内容，导数与积分的复习是数学第一轮复习的重点之一.下面，我将从以下三个部分来谈谈导数与积分的复习. 一、紧扣说明要求与考题规律，以把握考点定教学应对策略1.考试说明的要求（1）导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景. 通过函数图象直观理解导数的几何意义.（2）导数的运算根据导数的定义求函数(C为常数),的导数.能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数.（3）导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（4）生活中的优化问题 会用导数解决某些实际问题.（5）定积分与微积分基本定理了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.了解微积分基本定理的含义. 从上述不难发现：考试说明对导数的考查，主要以切线方程、函数单调区间、极值、最值为主. 2. 全国卷与湖北卷的联系与区别全国卷和湖北卷在导数考查的整体思路上是一样的：在考查基础知识的同时，都注重对数学思想方法和数学能力的考查. 导数的综合题均作为高考压轴题的形式出现.全国卷和湖北卷在导数考查的具体安排上有很区别：以2015年全国卷与湖北卷考试说明的对比分析可以发现，全国卷对导数在研究函数中的应用的考查层次比湖北卷高. 从近三年高考试卷的内容来看，全国卷特别注重对含参函数的单调性或图象的研究，难度较大，而湖北卷仅在解答题三个小问题中的第（1）小问出现，主要利用导数研究不含参函数的单调性或最值，为后面的问题作铺垫；湖北卷注重对积分的考查，而全国卷对此几乎没有涉及；全国卷对曲线切线的考查比较频繁，而湖北卷很少涉及. 考点全国卷湖北卷导数能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数;能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）;会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）;会用导数解决某些实际问题.理解求简单的复合函数的导数；掌握利用导数研究函数的单调性；掌握函数的极值、最值；理解利用导数解决某些实际问题.定积分了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想；了解定积分的概念；了解微积分基本定理的含义.了解定积分的概念；了解定积分基本定理；了解定积分的简单应用.3. 近三年全国卷考试特点与命题规律（1）试题分布：近三年全国数学理科卷中导数试题分布表：年份题号题型分值考查内容2013年16填空题5分利用导数求函数的最值.21解答题12分利用导数的几何意义解决曲线切线问题，利用导数讨论含参数函数的单调性并解决不等式问题.2014年11选择题5分利用导数研究函数的图象解决含参函数零点问题.21解答题12分利用导数的几何意义解决曲线切线问题，利用导数求函数的最值并证明不等式.2015年12选择题5分利用导数研究函数的图象并解决不等式的有解问题21解答题12分利用导数的几何意义解决曲线切线问题，利用导数研究含参函数的图象并讨论函数零点个数.（2）试题特点：从导数在高考中的地位来看, 几乎每年一道大题和一道小题, 分值17分，约占11.3%,并且试题难度较大.从考查的内容来看，考查的热点是利用导数求曲线的切线方程、求函数的单调区间、证明不等式、研究函数的图象，研究函数的零点，或利用导数解决实际问题.从全国卷考试说明对导数的要求以及近几年全国卷的命题重点来看，无论是小题还是大题，导数与不等式等知识的交汇与综合往往作为高考卷的把关题或压轴题，一般有较大难度，但是我们对这类题进行分析后不难发现，在这类试题中，导数只不过是一种工具，利用导数研究函数（特别是含参函数）的单调性、极值、最值、图象的工具，真正的难点是将这类试题中的问题转化为函数的单调性、极值、最值、图象的问题. 所以函数的单调性、极值、最值、图象的问题是导数与积分单元复习中的重点，导数与不等式、方程等知识的综合是复习中的难点. 二、紧绕复习计划与教学目标，以层层递进促课堂教学高效1. 教材分析“导数与积分”是高中数学人教A版教材选修2-2第一章的内容，是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求在复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识2. 学情分析 高三学生已经具备分析理解常见函数的性质的能力，同时也有通过导数研究函数性质的经验. 但在具体问题上，学生可能比较模糊，还没有形成解题规律和处理技巧.3教学目标（1） 知识与技能：利用导数的几何意义；利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值；解决方程有解及不等式恒成立问题（2）过程与方法：能够利用函数性质作图象，反过来利用函数的图象研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题；学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题.4教学重点、难点重点是应用导数求单调性，极值，最值；难点是方程有解及不等式恒成立问题.5. 教学计划第一轮复习导数与积分单元分成四个部分，按照层层递进方式，具体安排如下：第一部分：导数的概念及几何意义（1课时）, 是本单元的基础内容，高考的热点，但不是难点.这部分要求学生熟练使用求导四则运算，能准确地求出基本函数和简单复合函数的导数，熟练掌握求曲线的切线方程方法的一般步骤.第二部分：定积分与微积分基本定理（1课时），是本单元的基础内容. 这部分要求学生了解计算简单定积分的一般方法和步骤，了解定积分与曲边梯形的面积的关系，了解用微积分基本定理求曲边梯形的面积或求变速运动的路程.第三部分：导数与函数的单调性、极值与最值（2课时），是本单元的重点内容. 这部分内容要求学生熟练掌握利用导数研究函数（特别是含参函数）的单调性、极值、最值与图象的一般方法和步骤，掌握对参数分类讨论的技巧.第四部分：导数的实际应用以及与方程、不等式的综合（2课时），是本单元的难点内容. 这部分内容要求学生掌握导数与不等式、方程、实际问题、参数讨论等知识的内在联系，培养学生对常见问题的等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法的意识.5教学设计 以第三部分导数与函数的单调性、极值与最值的教学设计为例来阐述“一题多问、由易到难、层层递进的模式”提高课堂教学效果.教学目的：让学生熟练掌握利用导数研究函数（特别是含参函数）的单调性、极值、最值以及画函数图象的基本方法、处理技巧. 为了达到这个教学目的，我本部分的例题的选择及其意图如下：例1. 已知函数.（1）求的单调区间； （2）求的极值；（3）求在区间上的最大值与最小值.设计意图：例1主要考查不含参数的函数的的单调性、极值、最值等基础知识，选自人教A版数学选修2-2第31页习题1.3A组第2题第（4）小题. 该题由学生演板、互相纠错，老师补充完善完成，让学生加强对求函数单调性、极值与最值的一般方法步骤的掌握，并理解极值与最值的关系，也为例2问题的处理提供了方法步骤上的参考. 例2已知函数.（1）若在区间上单调递增，求a的的取值范围；（2）求的单调区间与极值； （3）求在上的最大值.设计意图：例2主要考查含参函数的的单调性、极值、最值等基础知识，问题（1）是函数单调性与导数之间关系的变形运用，培养学生的逆向思维能力，并加深对函数单调性与导数的关系的认识；让学生认识到，问题（2）（3），虽然在例1的基础上高了一个层次，但是解方法和步骤的整体框架相同，不同的是需要对参数进行分类讨论. 在解答过程中，要让学生理解为什么要分类讨论，学会怎样进行分类讨论，总结解题规律：讨论函数的单调性就讨论含参不等式（或）的解集的情况，求最值的过程就是在讨论函数的单调性的基础上比较极值与端点值的大小的过程. 该题是本节的重点也是难点，由老师引导协助学生共同完成. 例3已知函数.（1）当时，画出的大致图像； （2）讨论零点的个数；（3）（备用）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 设计意图：例3主要考查利用函数的单调性与极值画出函数的大致图象，是在例2的基础上又上升了一个层次. 该题让学生独立完成利用导数研究所给函数的单调性、极值的部分. 问题（1）中的函数不含有参数，问题（2）中的函数含有参数，既是分别对例1、例2的解题规律的加强巩固，又为下一步画图象或讨论零点个数做好准备工作. 问题（3）是今年全国卷21题，主要让学生体会本节内容是高考综合试题的核心，认识到掌握了用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象的规律与方法，与导数有关综合试题也就迎刃而解了，减小学生对高考中导数压轴题的畏惧心理. 利用几何画板，动态演示，直观的感觉参数的变化对函数的图象的影响，帮助学生更好地理解参数讨论的关键点，使探究落到实处.以上三个例题针对性强，抓住以利用导数来研究函数的单调性、极值与最值以及画函数图象为核心内容，突出训练，总结规律，提炼通法，从而提高学生的解题能力.每个例题的三个小问题之间以及三个例题之间均采用了一题多问、由易到难、层层递进的模式.在前一小问题的基础上处理下一小问题，在前一个例题的层次上处理下一个例题，既总结了解题方法，又弄清了它们之间的联系；既抓住了重点，又节约了时间；既解决了难点，又树立了学生的信心. 为下一部分导数的综合应用打下很好的基础.三、紧抓常见题型与解题方法，以难点突破助学生提升能力题型1：利用导数的几何意义求曲线的切线（可已知切线方程或切点坐标求参数的值）例1设函数，曲线在点处的切线方程为，求a, b. （2014年全国卷理第21题第1问）解题方法：必须明确切点的“三重身份”，切点在曲线上，切点在切线上，切点处的导函数的值为切线斜率.题型2：利用微积分基本定理求曲边梯形的面积例2. 求由曲线与直线，所围成平面图形的面积.（人教A版数学选修2-2第60页习题1.7B组第3题.）解题方法：正确画出题目中所表示的图形区域，由哪些曲边梯形组成，曲边梯形在x轴的上方还是下方. 题型3：求单调区间、极值或最值（或已知单调区间、极值或最值求参数范围）例3（1）求的单调区间；（2012年全国卷理第21题第1问）（2）求函数的极值；（3）求函数的最值.解题方法：若求函数单调区间只需解不等式（或），若已知单调性求参数范围可转化为（或）在给定区间上恒成立问题. 求极值问题只需讨论方程的根的情况及在每个根的两侧导数值的正负情况，已知函数极值求参数范围问题转化为讨论方程根的分布问题.求函数最值问题首先求函数极值和区间端点函数值，再将极值和端点值比较选出最大值和最小值.难点：符号判断的技巧结合的根（有时需要观察出来）与单调性来确定符号.如本例中，；用放缩法确定的符号，如本例中. 注：当时，.题型4：证明函数不等式例4. 证明：.（2014年全国卷理第21题第2问）解题方法：证明函数不等式一般思路是构造新的函数并求导判断其单调性，利用函数单调性结合特殊点的函数值（通常是最值）进行证明. 难点：若构造一个函数求最值非常麻烦，可以将不等式适当变形，构造两个函数，转化其中一个函数的最小值大于另一函数的最大值，如本例中将不等式变形为，构造两个函数，其中，.题型5：方程有解（或方程解的个数，函数有零点，函数零点的个数）求参数范围例5. 若关于x的方程有解，求k的取值范围.解题方法：对于方程在某区间上根的个数一般利用构造函数求导得函数单调性和极值，再根据单调性和极值画出函数图象利用图象法求解. 构造函数时可以构造一个函数也可以构造一对函数.如本例中，若方程变形为，可以转化为与x轴有交点；若方程变形为，也可以转化为与直线有交点；若方程变形，还可转化为与直线有交点，再转化为相切问题.题型6：不等式恒成立（或有解）求参数范围例6：若当, 且时，求k的取值范围. （2011年全国卷理第21题第2问）解题方法：函数不等式恒成立求参数范围问题一般思路为构造函数转化为最值问题. 构造函数的方法一般有两种，一种是将不等式变形构造含参数的函数，另一种是分离参数构造不含参数的函数，对于第一种构造的函数，需要利用逐段筛选讨论法求解，有时可取未知数的特殊值来缩小参数的范围，减少讨论的情况.难点：构造函数有讲究：将不等式适当变形，构造便于研究单调性的函数若不等式变形为，可构造函数，求导得，单调性不容易研究；若不等式变形为，可构造函数.可取一些求知数x的值代入去缩小参数k的范围，如取，得，接下来只需要在的范围内去讨论的单调性.四且行且思，对导数复习的几点思考1把握高考动态，夯实基础知识：紧扣教材，准确把握概念、法则，夯实学生解题的规范性；总结高考规律，明确考点要求，抓主线，攻重点，求突破.2总结解题规律，熟悉常见转化总结解题规律是找到一类题的解题方法、答题规律，从而提高解题效率；熟悉常见转化，就能把不熟悉的问题转化为比较熟悉的问题，从而运用已有的数学知识经验解决新问题.3渗透思想方法，注重知识交汇数学思想方法是数学的灵魂，在教学过程中渗透数形结合、化归转化、分类讨论等数学思想方法，能提高教学效果，更能提高学生构造函数能力、画图、看图、用图能力等解题能力. 注意导数知识与其它章节的联系，对于知识的交汇问题，重点放在逻辑思维、推理能力的培养上，尽量减少繁杂运算. 4针对学生水平，落实查缺补漏 对于学生导数内容掌握欠缺的方面，教师要加以提醒、点拨，使学生的思考能走向深入；对于学生出现的错误，教师应及时纠正，并帮助学生分析错误的原因，从而达到易错不错，错过不再错的目的.总之，一轮复习是高考备考的关键.把握考点，才能有的放矢；层层递进，才能个个击破；突破难点，才能冲刺高分.8