1.和差倍问题

1和差倍问题和差问题 和倍问题 差倍问题已知条件 几种数的和与差 几种数的和与倍数几种数的差与倍数公式合用范畴 已知两个数的和，差，倍数关系公式 (和差)2=较小数较小数差=较大数和较小数=较大数(和差)2=较大数较大数差=较小数和较大数=较小数和(倍数1)=小数小数倍数=大数和小数=大数差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数差=大数核心问题 求出同一条件下的和与差 和与倍数 差与倍数2年龄问题的三个基本特性：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同步增长或者同步减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；3归一问题的基本特点：问题中有一种不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表达。核心问题：根据题目中的条件拟定并求出单一量；4植树问题基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树基本公式 棵数=段数1棵距段数=总长 棵数=段数1棵距段数=总长 棵数=段数棵距段数=总长核心问题 拟定所属类型，从而拟定棵数与段数的关系5鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙同样或者乙和甲同样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物导致的差是固定的，从而找出浮现这个差的因素；再根据这两个差作合适的调节，消去浮现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）核心问题：找出总量的差与单位量的差。6盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种原则分组，产生一种成果：按照另一种原则分组，又产生一种成果，由于分组的原则不同，导致成果的差别，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路：先将两种分派方案进行比较，分析由于原则的差别导致成果的变化，根据这个关系求出参与分派的总份数，然后根据题意求出对象的总量基本题型：一次有余数，另一次局限性；基本公式：总份数（余数局限性数）两次每份数的差当两次均有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都局限性；基本公式：总份数（较大局限性数一较小局限性数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。核心问题：拟定对象总量和总的组数。7牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出导致这种差别的因素，即可拟定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；核心问题：拟定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量；8周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特性有规律循环浮现。周期：我们把持续两次浮现所通过的时间叫周期。核心问题：拟定循环周期。闰 年：一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；平 年：一年有365天。年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除；9平均数基本公式：平均数=总数量总份数总数量=平均数总份数总份数=总数量平均数平均数=基准数每一种数与基准数差的和总份数基本算法：求出总数量以及总份数，运用基本公式进行计算.基准数法：根据给出的数之间的关系，拟定一种基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为原则，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式。10抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一种抽屉中至少放有2个物体。例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有如下四种状况：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1观测上面四种放物体的方式，我们会发现一种共同特点：总有那么一种抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一种抽屉中至少放有2个物体。抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么必有一种抽屉至少有:k=n/m +1个物体：当n不能被m整除时。k=n/m个物体：当n能被m整除时。理解知识点：X表达不超过X的最大整数。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；核心问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后根据抽屉原则进行运算。11定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包具有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。核心问题：对的理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一种数，一般用a1表达；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表达；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表达；通项：表达数列中每一种数的公式，一般用an表达；数列的和：这一数列所有数字的和，一般用Sn表达基本思路：等差数列中波及五个量：a1 ,an, d, n,sn,通项公式中波及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中波及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an = a1+（n1）d；通项首项（项数一1) 公差；数列和公式：sn,= (a1+ an)n2；数列和（首项末项）项数2；项数公式：n= (an+ a1)d1；项数=（末项-首项）公差1；公差公式：d =（ana1）（n1）；公差=（末项首项）（项数1）；核心问题：拟定已知量和未知量，拟定使用的公式；13二进制及其应用十进制：用09十个数字表达，逢10进1；不同数位上的数字表达不同的含义，十位上的2表达20，百位上的2表达200。因此234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意：N0=；N=N（其中N是任意自然数）二进制：用01两个数字表达，逢2进1；不同数位上的数字表达不同的含义。（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意：An不是0就是1。十进制化成二进制：根据二进制满2进1的特点，用2持续清除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不不小于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不不小于这个差的2的n次方，依此措施始终找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。14加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完毕一件任务有n类措施，在第一类措施中有m1种不同措施，在第二类措施中有m2种不同措施，在第n类措施中有mn种不同措施，那么完毕这件任务共有：m1+ m2. +mn种不同的措施。核心问题：拟定工作的分类措施。基本特性：每一种措施都可完毕任务。乘法原理：如果完毕一件任务需要提成n个环节进行，做第1步有m1种措施，不管第1步用哪一种措施，第2步总有m2种措施不管前面n-1步用哪种措施，第n步总有mn种措施，那么完毕这件任务共有：m1m2. mn种不同的措施。核心问题：拟定工作的完毕环节。基本特性：每一步只能完毕任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一种端点；没有长度。数线段规律：总数1+2+3+（点数一1）；数角规律=1+2+3+（射线数一1）；数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数=11+22+33+行数列数15质数与合数质数：一种数除了1和它自身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一种数除了1和它自身之外，尚有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一种数用质数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。一般用短除法分解质因数。任何一种合数分解质因数的成果是唯一的。分解质因数的原则表达形式：N=，其中a1、a2、a3an都是合数N的质因数，且a1a2a3an。求约数个数的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1)互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16约数与倍数约数和倍数：若整数a可以被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。公约数：几种数公有的约数，叫做这几种数的公约数；其中最大的一种，叫做这几种数的最大公约数。最大公约数的性质：1、 几种数都除以它们的最大公约数，所得的几种商是互质数。2、 几种数的最大公约数都是这几种数的约数。3、 几种数的公约数，都是这几种数的最大公约数的约数。4、 几种数都乘以一种自然数m，所得的积的最大公约数等于这几种数的最大公约数乘以m。例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公约数有：1、2、3、6；那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本措施：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相似的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，可以整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几种数公有的倍数，叫做这几种数的公倍数；其中最小的一种，叫做这几种数的最小公倍数。12的倍数有：12、24、36、48；18的倍数有：18、36、54、72；那么12和18的公倍数有：36、72、108；那么12和18最小的公倍数是36，记作12，18=36；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本措施：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的措施17数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一种整数a，除以一种自然数b，得到一种整数商c，并且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；由于符号“”，因此的符号“”；二、整除判断措施：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2. 能被4、25整除：末两位的数字所构成的数能被4、25整除。3. 能被8、125整除：末三位的数字所构成的数能被8、125整除。4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5. 能被7整除：末三位上数字所构成的数与末三位此前的数字所构成数之差能被7整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除：末三位上数字所构成的数与末三位此前的数字所构成的数之差能被11整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7. 能被13整除：末三位上数字所构成的数与末三位此前的数字所构成的数之差能被13整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。18余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得ab=qr，且0rb,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。余数的性质：余数不不小于除数。若a、b除以c的余数相似，则c|a-b或c|b-a。a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。19余数、同余与周期一、同余的定义：若两个整数a、b除以m的余数相似，则称a、b对于模m同余。已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作ab(mod m)，读作a同余于b模m。二、同余的性质：自身性：aa(mod m)；对称性：若ab(mod m)，则ba(mod m)；传递性：若ab(mod m)，bc(mod m)，则a c(mod m)；和差性：若ab(mod m)，cd(mod m)，则a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：若a b(mod m)，cd(mod m)，则ac bd(mod m)；乘方性：若ab(mod m)，则anbn(mod m)；同倍性:若a b(mod m)，整数c，则ac bc(mod mc)；三、有关乘方的预备知识：若A=ab，则MA=Mab=（Ma）b若B=c+d则MB=Mc+d=McMd四、被3、9、11除后的余数特性：一种自然数M，n表达M的各个数位上数字的和，则Mn(mod 9)或（mod 3）；一种自然数M，X表达M的各个奇数位上数字的和，Y表达M的各个偶数数位上数字的和，则MY-X或M11-（X-Y）(mod 11)；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-11(mod p)。20分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“1”平均提成几份，表达这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同步乘以或除以相似的数（0除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均提成几份，表达这样一份的数。百分数：表达一种数是另一种数百分之几的数。常用措施：逆向思维措施：从题目提供条件的反方向（或成果）进行思考。相应思维措施：找出题目中具体的量与它所占的率的直接相应关系。转化思维措施：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常用的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的原则（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常用的解决措施是拟定不同的原则为一倍量。假设思维措施：为理解题的以便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种状况成立，计算出相应的成果，然后再进行调节，求出最后成果。量不变思维措施：在变化的各个量当中，总有一种量是不变的，不管其她量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有如下三种状况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替代思维措施：用一种量替代另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行解决。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。21分数大小的比较基本措施：通分分子法：使所有分数的分子相似，根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使所有分数的分母相似，根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：拟定一种原则，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定期，分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法：当比较两个分子或分母同步变化时分数的大小，除了运用以上措施外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）转化比较措施：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。倍数比较法：用一种数除以另一种数，成果得数和1进行比较。大小比较法：用一种分数减去另一种分数，得出的数和0比较。倒数比较法：运用倒数比较大小，然后拟定原数的大小。基准数比较法：拟定一种基准数，每一种数与基准数比较。22分数拆分一、 将一种分数单位分解成两个分数之和的公式： =+；=+（d为自然数）；23完全平方数完全平方数特性：1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2. 除以3余0或余1；反之不成立。3. 除以4余0或余1；反之不成立。4. 约数个数为奇数；反之成立。5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7. 两个相临整数的平方之间不也许再有平方数。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y224比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号背面的数叫比的后项。比值：比的前项除后来项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同步乘以或除以相似的数（零除外），比值不变。比例：表达两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分派：把几种数按一定比例提成几份，叫按比例分派。25综合行程基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.基本公式：路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间核心问题：拟定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其她公式）追及问题：追及时间路程差速度差（写出其她公式）流水问题：顺水行程=（船速+水速）顺水时间逆水行程=（船速-水速）逆水时间顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速静水速度=（顺水速度+逆水速度）2水 速=（顺水速度-逆水速度）2流水问题：核心是拟定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：核心是拟定物体所运动的路程，参照以上公式。重要措施：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。26工程问题基本公式：工作总量=工作效率工作时间工作效率=工作总量工作时间工作时间=工作总量工作效率基本思路：假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；假设一种以便的数为工作总量（一般是它们完毕工作总量所用时间的最小公倍数），运用上述三个基本关系，可以简朴地表达出工作效率及工作时间.核心问题：拟定工作量、工作时间、工作效率间的两两相应关系。经验简评：合久必分，分久必合。27逻辑推理基本措施简介：条件分析假设法：假设也许状况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的状况，阐明该假设状况是不成立的，那么与她的相反状况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中浮现了矛盾，那么a一定是奇数。条件分析列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才干完毕时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件所有表达在一种长方形表格中，表格的行、列分别表达不同的对象与状况，观测表格内的题设状况，运用逻辑规律进行判断。条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表达两个对象之间的关系，有连线则表达“是，有”等肯定的状态，没有连线则表达否认的状态。例如A和B两人之间有结识或不结识两种状态，有连线表达结识，没有表达不结识。逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的成果为推理提供一种新的判断筛选条件。简朴归纳与推理：根据题目提供的特性和数据，分析其中存在的规律和措施，并从特殊状况推广到一般状况，并递推出有关的关系式，从而得到问题的解决。28几何面积基本思路：在某些面积的计算上，不能直接运用公式的状况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；此外需要掌握和记忆某些常规的面积规律。常用措施：1. 连辅助线措施2. 运用等底等高的两个三角形面积相等。3. 大胆假设（有些点的设立题目中说的是任意点，解题时可把任意点设立在特殊位置上）。4. 运用特殊规律等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。圆的面积占外接正方形面积的78.5%。29立体图形长 方 体8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等； S=2(ab+ah+bh) V=abh =Sh正 方 体8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等； S=6a2 V=a3圆柱体上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形； S=S侧+2S底 S侧=Ch V=Sh圆锥体下底是圆；只有一种顶点；l:母线，顶点究竟圆周上任意一点的距离； S=S侧+S底S侧=rl V=Sh球体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。 S=4r2 V=r330时钟问题快慢表问题基本思路：1、 按照行程问题中的思维措施解题；2、 不同的表当成速度不同的运动物体；3、 路程的单位是分格（表一周为60分格）；4、 时间是原则表所通过的时间；合理运用行程问题中的比例关系；关注现代与典型微信公众平台（帐号xdyjd 或查找公众帐号“现代与典型”）让教育人生更精彩.com查看日记