自然数平方和公式

自然数平方和公式证明1。此式对于任何自然数n都成立。 依次把n=1，2，3,.,n-1,n代入止式可得 把这n个等式的左边与右边相应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩余 ；而前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列浮现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列浮现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。因而我们得到。目前这里 对这个成果进行恒等变形可得移项，合并同类项可得即证明2。设12+ 22 + + n2 =An3+Bn2+Cn+D,令n=1，2，3，4得有关A，B，C。D的四元一次方程组，可解得A=C=，B=，D=0，再用数学归纳法证明。证明3。设f(x)=(1+x)2+ (1+x)3 + +(1+x)n,则x2的系数和为 + + + =12+ 22 + + n2-(1+2+ + n)= 12+ 22 + + n2- -n(n+1)又f(x)=,其中x2的系数为,于是有12+ 22 + + n2- -n(n+1)= ，解得12+ 22 + + n2 = 有关自然数平方和的几种模型归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明示k个k之和(图1(1)旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图1(2)、1(3)，每一线段上的数字顺序成等差数列，再重叠三个数阵，则每一点上的数字和为(2n1)于是透了运动的思想，动静结合，相得益彰割补、数形结合来证明(n1)(2n1)个单位正方形；再给前n2层各补(2n3)个单位正方形，共补(n2)(2n3)个；，最后给第一层补3个，这样添补的单位正模型2数形结合，以形助数，比较直观而应用映射措施将求和问题映射成几何上的求堆垒总数问题，再运用几何体的割补求和，也体现了化归思想而添补的立方体个数为1325n(2n1)，原有立方体个数以上三个均属构造的数学模型，此外还可以构造物理模型，从物理意义上进行探讨垂线段上分别等距离地放1个，2个，n个重量为1个单位的质点则这些质点对原点的力矩数学知识构造之间的互相联系，为我们解决问题提供了丰富的源泉数学问题的模型是多样的通过对不同模型的探讨，将有助于开阔我们的视野，有助于提高我们的分析问题和解决问题的能力