有答案-数列综合练习(错位相减法、裂项相消法)

数列综合练习（一）1等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽视q1的状况2若an是等比数列，且公比q1，则前n项和Sn(1qn)A(qn1)其中A.3推导等比数列前n项和的措施叫错位相减法一般合用于求一种等差数列与一种等比数列相应项积的前n项和4拆项成差求和常常用到下列拆项公式：(1)；一、选择题1设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则等于()A11 B5C8 D11答案D解析由8a2a50得8a1qa1q40，q2，则11.2记等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5C31 D33答案D解析由题意知公比q1，1q39，q2，1q512533.3设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则等于()A2 B4C. D.答案C解析措施一由等比数列的定义，S4a1a2a3a4a2a2qa2q2，得1qq2.措施二S4，a2a1q，.4设an是由正数构成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a41，S37，则S5等于()A. B.C. D.答案B解析an是由正数构成的等比数列，且a2a41，设an的公比为q，则q0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58(1).5在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn3nk，则实数k的值为()A0 B1 C1 D2答案C解析当n1时，a1S13k，当n2时，anSnSn1(3nk)(3n1k)3n3n123n1.由题意知an为等比数列，因此a13k2，k1.6在等比数列an中，公比q是整数，a1a418，a2a312，则此数列的前8项和为()A514 B513 C512 D510答案D解析由a1a418和a2a312，得方程组，解得或.q为整数，q2，a12，S8292510.二、填空题7若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.答案解析显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.8设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S64S3，则a4_.答案3解析S64S3q33(q31不合题意，舍去)a4a1q3133.9若等比数列an中，a11，an512，前n项和为Sn341，则n的值是_答案10解析Sn，341，q2，又ana1qn1，512(2)n1，n10.10如果数列an的前n项和Sn2an1，则此数列的通项公式an_.答案2n1解析当n1时，S12a11，a12a11，a11.当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)an2an1，an是等比数列，an2n1，nN*.三、解答题11在等比数列an中，a1an66，a3an2128，Sn126，求n和q.解a3an2a1an，a1an128，解方程组得 或将代入Sn，可得q，由ana1qn1可解得n6.将代入Sn，可得q2，由ana1qn1可解得n6.故n6，q或2.12已知Sn为等比数列an的前n项和，Sn54，S2n60，求S3n.解措施一由题意Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，6254(S3n60)，S3n.措施二由题意得a1，Sn54 S2n60 由得1qn， qn， S3n(1).13已知数列an的前n项和Sn2n24.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnanlog2an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题意，Sn2n24，n2时，anSnSn12n22n12n1，当n1时，a1S12344，也适合上式，数列an的通项公式为an2n1，nN*.(2)bnanlog2an(n1)2n1，Tn222323424n2n(n1)2n1， 2Tn223324425n2n1(n1)2n2. 得，Tn232324252n1(n1)2n223(n1)2n2 2323(2n11)(n1)2n2(n1)2n2232n1 (n1)2n22n2n2n2.14已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.由于a37，a5a726，因此解得因此an32(n1)2n1，Sn3n2n22n.因此，an2n1，Snn22n.(2)由(1)知an2n1，因此bn，因此Tn(1)(1)，即数列bn的前n项和Tn.15设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解(1)由已知，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，因此数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1， 从而22Sn123225327n22n1. 得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n1216在数列an中，a12，an1anln，则an等于()A2ln n B2(n1)ln n C2nln n D1nln n答案A解析an1anln，an1anlnlnln(n1)ln n.又a12，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2ln nln 12ln n.17已知正项数列an的前n项和Sn(an1)2，求an的通项公式解当n1时，a1S1，因此a1(a11)2，解得a11.当n2时，anSnSn1(an1)2(an11)2(aa2an2an1)，aa2(anan1)0，(anan1)(anan12)0.anan10，anan120.anan12.an是首项为1，公差为2的等差数列an12(n1)2n1.18(12分)在数列an中，a11，an12an2n.(1)设bn.证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和(1)证明由已知an12an2n，得bn11bn1.bn1bn1，又b1a11.bn是首项为1，公差为1的等差数列(2)解由(1)知，bnn，bnn.ann2n1.Sn1221322n2n1两边乘以2得：2Sn121222(n1)2n1n2n，两式相减得：Sn121222n1n2n2n1n2n(1n)2n1，Sn(n1)2n1.19(12分)已知数列an的前n项和为Sn，且a11，an1Sn(n1,2,3，)(1)求数列an的通项公式；(2)当bnlog(3an1)时，求证：数列的前n项和Tn.(1)解由已知(n2)，得an1an(n2)数列an是以a2为首项，以为公比的等比数列又a2S1a1，ana2()n2(n2)an(2)证明bnlog(3an1)log()n1n.Tn()()()()1.