2015年高考北京文科数学试题及答案(解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）【2015年北京，文1，5分】若集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A（2）【2015年北京，文2，5分】圆心为且过原点的圆的方程是（ ）（A） （B） （C）（D）【答案】D【解析】由已知得，圆心为，半径为，圆的方程为，故选D（3）【2015年北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】函数为奇函数，为偶函数，与为非奇非偶函数，故选B类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300（4）【2015年北京，文4，5分】某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为（ ）（A）90 （B）100 （C）180 （D）300【答案】C【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为；设样本中老年教师的 人数为，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得，故选C（5）【2015年北京，文5，5分】执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】，输出，故选B（6）【2015年北京，文6，5分】设，是非零向量，“”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，由已知得，即，而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A（7）【2015年北京，文7，5分】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，平面，是四棱锥最长的棱，故选C（8）【2015年北京，文8，5分】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）（A）6升 （B）8升 （C）10升 （D）12升【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升 而这段时间内行驶的里程数千米 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。（9）【2015年北京，文9，5分】复数的实部为 【答案】 【解析】复数，其实部为（10）【2015年北京，文10，5分】，三个数中最大数的是 【答案】【解析】，所以最大（11）【2015年北京，文11，5分】在中，则_【答案】【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以（12）【2015年北京，文12，5分】已知是双曲线（）的一个焦点，则 【答案】【解析】由题意知，所以（13）【2015年北京，文13，5分】如图，及其内部的点组 成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为_【答案】7【解析】依题意，在点处取得最大值7（14）【2015年北京，文14，5分】高三年级位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生 是 ；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目 是 【答案】乙、数学【解析】由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学 三、解答题：共6题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）【2015年北京，文15，13分】已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值解：（1）的最小正周期为 （2）因为，所以，从而，即时，最小。所以在区间上的最小值为（16）【2015年北京，文16，13分】已知等差数列满足，（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，问：与数列的第几项相等？解：（1）设等差数列的公差为因为，所以又因为，所以，故所以 （2）设等比数列的公比为因为，所以，所以由，得所以与数列的第63项相等（17）【2015年北京，文17，13分】某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？解：（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为（2）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为（3）与（1）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大（18）【2015年北京，文18，14分】如图所示，在三棱锥中，平面平面，三角形为等边三角形，且，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积解：（1）依题意，分别为，的中点，则是的中位线，所以，平面，平面，故平面（2）因为，为的中点，所以又因为平面平面， 且平面，所以平面，所以平面平面（3）在等腰直角三角形中，所以所以等边三角形的面积又因为平面，所以三棱锥C-VAB的体积等于又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为（19）【2015年北京，文19，13分】设函数，（1）求的单调区间和极值；（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点解：（1）由函数，所以。从而；。 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值（2）由（1）知，在区间上的最小值为因为存在零点，所以，从而当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点（20）【2015年北京，文20，14分】已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于两点（1）求椭圆的离心率；（2）若垂直于轴，求直线的斜率；（3）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由解：（1）椭圆的标准方程为所以，所以椭圆的离心率（2）因为过点且垂直于轴，所以可设，直线的方程为令，得所以直线BM的斜率（3）直线与直线平行证明如下：当直线的斜率不存在时，由（2）可知又因为直线的斜率，所以当直线的斜率存在时，设其方程为设，则直线的方程为令，得点由，得直线的斜率因为 所以，综上可知，直线与直线平行5