资源描述
课程简介,科学和工程计算是工程类硕士研究生的一门应用性很强的 重要基础课程，是计算机科学的重要内容。 科学计算是工程实践的重要工具，本课程主要研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法 及其理论，简称数值计算方法或数值分析。,计算方法,科学计算突破了实验与 理论方法的局限性 科学计算已和理论、实验 并列为三大科学方法 （There are three great branches of science：theory，experiment， and computation.）,科学计算的重要性：,1、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温,插值法!,应用问题举例：,1.梁志伟，马旭东等.一种基于双层插值的路径规划及跟踪算法.机器人2010.11 2.任茂栋，梁晋等.数字图像相关法中的优化插值滤波器.西安交通大学学报2014.7 3.周峰，赵春宇等.基于时域线性插值的信号周期 计算方法及误差分析仪器仪表学报20101.8 4.史再峰等.基于边缘方向插值的视频缩放算法及电路设计.吉林大学学报2009.4,相关领域的应用文献,2、铝制波纹瓦的长度问题,建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.,假若要求波纹瓦长48英寸,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.,这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:,上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.,数值积分!,主要应用于物理、航天等领域; 神经网络 1.许少华，王颖等一种基于数值积分的过程神经元 网络训练算法.计算机科学.2010.11 2.李盼池，施光尧.基于数值积分的离散过程神经网 络算法及应用;系统工程理论与实践2013.12 使用智能优化算法求解数值积分问题 1.梁莉莉，韦修喜.云自适应粒子群优化算法在 数值积分中的应用.计算机工程与应用 2012.6 2.赖志柱，张云艳.基于遗传算法求任意函数的数值积分2014.2,全球定位系统：在地球的任何一个位置，至少可以同时收到4颗以上卫星发射的信号,3、全球定位系统(Global Positioning System, GPS),表示地球上一个接收点R的当前位置，卫星Si的位置为 ，则得到下列非线性方程组,非线性方程组的数值方法!,10,2020年6月20日,国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装备现已成为决定战争胜负的重要因素 军事装备: 军事实力的总和，主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等,现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的结果产生一定的影响,4.战争的预测与评估问题,11,2020年6月20日,4.战争的预测与评估问题,现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。,12,2020年6月20日,4.战争的预测与评估问题,2. 模型的假设,13,2020年6月20日,3. 模型的建立与求解,4.战争的预测与评估问题,14,2020年6月20日,4.战争的预测与评估问题,微分方程模型！,第一章 绪论,1.1 计算方法的意义 1.2 误差及有关概念 1.3 数值计算中必须注意的几个原则,主要内容：,本课程主要内容包括线性方程组的数值求解、非线性方程求根、插值与逼近、数值积分、常微分方程数值解等.,1.1 计算方法的意义,特点：,现 实 世 界,研究 对象,测量 数据,数学模型的建立,数值分析,程序设计,测量 误差,模型误差,截断误差(方法误差),舍入误差,上机计算 求得结果,1.2 误差及有关概念(error),1.2.1 误差来源,19,例如，用泰勒(Taylor)多项式,近似代替函数 ，,则数值方法的截断误差(truncation error)是,在0与x之间。,20,产生的误差,用3.14159近似代替 ，,就是舍入误差.,例如，,有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受计算机字长的限制，计算过程又可能产生新的误差，这种误差为舍入误差(roundoff error).,若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即,1.2.2 绝对误差与相对误差,设 为准确值，,为 的一个近似值，,通常准确值x 是未知的，,因此误差 也是未知的.,为近似值的绝对误差(absolute error) ，,定义1,称,简称误差.,则 叫做近似值的误差限，,它总是正数.,例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，读出和该长度接近的刻度 ，,是 的近似值，,它的误差限是 ，,于是,如读出的长度为 ，,则有 .,虽然从这个不等式不能知道准确的 是多少，但可知,结果说明 在区间 内.,对于一般情形 ，,即,也可以表示为,需要注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.,例如，有两个量 ，,则,把近似值的误差 与准确值 的比值,称为近似值 的相对误差(relative error) ，,记作 .,上例中 与 的相对误差限分别为,可见 近似 的程度比 近似 的程度好.,根据定义，,当准确值x 位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到x的前几位近似值 ，,1.2.3 准确位数与有效数字,如取 作为 的近似值，,取 ，,按这个定义，,就有3位有效数字，,就有5位有效数字.,按定义，,187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183.,的5位有效数字近似数是8.0000，而不是8，,例1 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的 近似数：187.9325, 0.03785551, 8.000033, 2.7182818.,上述各数具有5位有效数字的近似数分别是,因为8只有1位有效数字.,注意：,（1-1）,其中 是0到9中的一个数字， 为整数，则此时 有n位有效数字,（1-2）,且绝对误差限,若近似值 表示为,在 相同的情况下， 越大则 越小， 故有效位数越多，绝对误差限越小.,其相对误差限为,有效位数越多，相对误差限越小.,1.3 数值计算中必须注意的几个原则,前面的误差分析只适用于简单情形，一个工程或 科学计算问题往往要运算千万次，由于每步运算都有误差， 如果每步都做误差分析是不可能的，也不科学.,因为误差积累有正有负，绝对值有大有小，都按最坏 情况估计误差限得到的结果比实际误差大得多，这种保守 的误差估计不反映实际误差积累.到目前为止，误差分析只 是定性分析，定量分析尚没有好的方法。,要避免绝对值很小的数做除数,要避免两相近数相减,要防止大数“吃掉”小数,注意简化计算步骤，减少运算次数,数值计算中通常不采用数值不稳定算法，在设计算法时 还应尽量避免误差危害，防止有效数字损失，注意这样几个 原则：,例如：,对分母做微小变化：,分母只有0.0001的变化，计算结果变化很大。 避免很小的数做除数。,解,只有一位有效数字.,则具有3位有效数字.,若改用,此例说明，可通过改变计算公式避免或减少有效数字 的损失.,类似地，如果 和 很接近时，由,用右边算式有效数字就不损失.,也应该用右端算式代替左端.,当 很大时，,一般情况，当 时，可用泰勒展开,取右端的有限项近似左端.,如果无法改变算式，则采用增加有效位数进行运算；,在计算机上则采用双倍字长运算，但这要增加机器计算时间和多占内存单元.,例3 已知 a0, a1, a2 , an, x, 计算多项式： 直接计算：运算量（乘） 秦九韶算法（1247年）（horner方法1819）：,运算量n,例4 利用公式,的前 项和，可计算 的近似值（令 ）.,若要精确到 ，需要对 N=100000项求和，此时不但计 算量大，舍入误差的积累也很严重.,若改用,取 ，只要计算前10项之和，其截断误差便小于 .,1.了解数值分析研究的对象及特点；了解误差的来源及分类； 2.掌握误差与有效数字的概念，掌握数值运算的误差估计方法； 3.了解数值算法的稳定性；掌握避免误差危害的若干原则。,本章总结,
展开阅读全文