相似三角形常用辅助线.ppt

相似三角形中的辅助线,淮北市开渠中学 王 毅,相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：,例题：,如图，D是ABC的BC边上的点， BD：DC=2：1，,求：BE：EF的值.,D,A,B,C,E,F,E是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,一、作平行线,D,A,B,C,E,F,n,2k,k,解法1：,过点D作CA的平行线交BF于点P，,P,?y,y,n,y,D,A,B,C,E,F,n,解法1：,过点D作CA的平行线交BF于点P，,P,n,2k,k,y,y,4y,?y,BE：EF=5：1.,则,PE=EF,BP=2PF=4EF，,所以BE=5EF,D,A,B,C,E,F,n,n,2k,解法2：,过点D作BF的平行线交AC于点Q，,y,k,Q,?y,2y,D,A,B,C,E,F,n,n,解法2：,过点D作BF的平行线交AC于点Q，,Q,2k,k,?y,2y,5y,y,BE：EF=5：1.,D,A,B,C,E,F,2k,解法3：,过点E作BC的平行线交AC于点S，,S,n,n,k,?k,D,A,B,C,E,F,解法3：,过点E作BC的平行线交AC于点S，,S,n,n,?y,5y,y,2k,k,D,A,B,C,E,F,n,n,2k,解法4：,过点E作AC的平行线交BC于点T，,T,D,A,B,C,E,F,n,n,2k,解法4：,过点E作AC的平行线交BC于点T，,T,y,?y,5y,BD=2DC，,BE：EF=5：1.,练习：,如图，D是ABC的BC边上的点， BD：DC=2：1，,求AF：CF的值.,D,A,B,C,E,F,E是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,D,A,B,C,E,F,解法1：,过点D作CA的平行线交BF于点P，,P,n,n,2x,2x,2k,k,3x,AF：CF=2：3.,D,A,B,C,E,F,解法2：,过点D作BF的平行线交AC于点Q，,Q,n,n,2x,2x,2k,k,x,AF：CF=2：3.,D,A,B,C,E,F,解法3：,过点E作BC的平行线交AC于点S，,S,n,n,h,2h,4h,y,5y,4y,AF：CF=2：3.,D,A,B,C,E,F,解法4：,过点E作AC的平行线交BC于点T，,T,n,n,h,h,4h,5y,6y,4y,AF：CF=2：3.,作平行线,例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：,证明：过点C作CG/FD交AB于G 小结：本题关键在于ADAE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。,例2. 如图，ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：ABDF=ACEF。,分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。,方法一：过E作EM/AB，交BC于点M，则EMCABC（两角对应相等，两三角形相似）。,方法二：如图，过D作DN/EC交BC于N,1、在ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。 求证：EFBC=ACDF,1、证明： 过D作DGBC交AB于G， 则DFG和EFB相似，,BEAD,由DGBC可得ADG和ACB相似， ,由得，,EFBCACDF,1、已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC 于E,交BA的延长线于F,求证：,利用比例式够造平行线，通过中间比得结论,构造平行线,利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形,已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2ACCD,本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题；让它归属一条线段，找到这一线段2倍是哪一线段。,已知：从直角三角形ABC的 直角顶点A向斜边BC引垂线，垂足为D，边AC的中点为E,直线ED与边AB的延长线交于F， 求证：AB:AC=DF:AF,F,利用前两题的 思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与2倍关系的 结论，证明所得结论,找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似,1、如图，ABC中，AD是BC边上中线，E是AC上一点，连接ED且交AB的延长线于F点. 求证：AE：EC=AF：BF,注意观察图形的 特殊性，有些像全等中，旋转的基本图形，因此可以没有相互关系的 成比例的四条线段转化为成比例的四条线段（通过全等找相等的 线段） 关键是要把成比例线段放在两个三角形中,练习,2、如图，平行四边形ABCD中，E为AB边中点，点F在AD边上，且AF：FD=1：2，EF交AC于G，求 的值,.,构造线段相等转化比例式,1、在ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP2=PEPF,在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化， 也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的 线段，通过相似证明。 另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明,1、如图，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于O点，BA、CD的延长线交于E点，连结EO并延长分别交AD、BC于N、M 求证： BM=CM,证线段相等的又一方法,1、如图，AD是BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：ED2=EBEC,练习,2、如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，EFEC交AB于F，连接FC(ABAE), 求证：AEF ECF,2、已知，在ABC中，若AB=BC,B=90,AD为BC边的中线，过B作直线BPAD于P交AC于E，求证：AE=2EC ;AEB= CED.,二、作垂线,3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：,证明：过B作BMAC于M，过D作DNAC于N ,（1）,（2）,又, AN=CM,又,（1）+（2）,2、中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求证：,2、证明： 过P作PEAC于E，PFCB于F， 则CEPF为矩形 PF,EC , EC=PF ,（1） 在,和,中：CPMN于Q ,又 ,即,由（1）（2）得,（2）,三、作延长线,例5. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分线CHAB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求HBC的面积。,分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。,解：延长BA、CD交于点P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC,例6. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF,解析：欲证式即 由“三点定形”，BFG 与CFG会相似吗？显然不可能。（因为BFG为Rt），但由E为CD的中点，可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。 不妨延长GF与AC的延长线交于H,则,又ED=EC FG=FH 又易证RtCFHRtGFB,FGFH=CFBF,FG=FH FG2=CFBF,四、作中线,例7 如图，中，ABAC，AEBC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。,解：取BC的中点M，连AM ABAC AM=CM 1=C 又 BD=DC,又 DC=1 MC=,BC ,（1） 又,又 EC=1 ,由（1）（2）得，,（2）,小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造,与,相似是解题关键,3、,理由？（用三种解法）,方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。,方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC,在BED与BCD中，,方法三：如图（3），过B作BEBC于B，交CA的延长线于E。,回头一看，我想说,我有哪些收获呢？ 与大家共分享！,再见,