资源描述
锐角三角函数锐角三角函数sinA、cosA、tanA、cotA分别等于直角三角形分别等于直角三角形中哪两条边的比？中哪两条边的比？回顾回顾ABC 珠穆朗玛峰，海拔珠穆朗玛峰，海拔8844.43米，为世界第一高米，为世界第一高峰，位于喜马拉雅山中段之中尼边界上、西藏日喀峰，位于喜马拉雅山中段之中尼边界上、西藏日喀则地区定日县正南方峰顶终年积雪，一派圣洁景则地区定日县正南方峰顶终年积雪，一派圣洁景象珠峰地区拥有象珠峰地区拥有4座座8000米以上、米以上、38座座7000米以米以上的山峰，被誉为地球第三级上的山峰，被誉为地球第三级 珠穆朗玛峰那珠穆朗玛峰那么高，它的高度是么高，它的高度是怎样测出来的？怎样测出来的？测量珠峰高程，首先确定珠峰海拔高程起算测量珠峰高程，首先确定珠峰海拔高程起算点我国是以青岛验潮站的黄海海水面为海拔零点我国是以青岛验潮站的黄海海水面为海拔零起始点（水准原点），因为测绘人员已取得西藏起始点（水准原点），因为测绘人员已取得西藏拉孜县相对青岛水准原点的精确高程，测量队只拉孜县相对青岛水准原点的精确高程，测量队只需要从拉孜起测前半程仍采用传统而精确的水需要从拉孜起测前半程仍采用传统而精确的水准测量法，每隔几十米竖立一个标杆，通过水准准测量法，每隔几十米竖立一个标杆，通过水准仪测出高差，一站一站地将高差累加起来就可得仪测出高差，一站一站地将高差累加起来就可得出准确数字这样一直传递到珠峰脚下出准确数字这样一直传递到珠峰脚下6个峰顶交个峰顶交会测量点会测量点 当精确高程传递至珠峰脚下的当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用用“勾股定理勾股定理”的基本原理，推算出峰顶相对的基本原理，推算出峰顶相对于这几个点的高程差于这几个点的高程差 最后，通过进行重力、大气等多方面的改最后，通过进行重力、大气等多方面的改正计算，确定珠峰高程正计算，确定珠峰高程GPS测量，则是将测量，则是将GPS测量设备带至峰顶直接获取数据，然后通测量设备带至峰顶直接获取数据，然后通过一系列的复杂计算取得珠峰精确高程过一系列的复杂计算取得珠峰精确高程【知识与能力知识与能力】1 1掌握直角三角形的边角关系；掌握直角三角形的边角关系；2 2会运用勾股定理、直角三角形的两个锐会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形角互余及锐角三角函数解直角三角形【过程与方法过程与方法】通过综合运用勾股定理，直角三角形的两通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步分析问题、解决问题的能力步分析问题、解决问题的能力【情感态度与价值观情感态度与价值观】通过本节的学习，渗透数形结合的数学思通过本节的学习，渗透数形结合的数学思想，培养良好的学习习惯想，培养良好的学习习惯重点：重点：直角三角形的解法直角三角形的解法难点：难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用三角函数在解直角三角形中的灵活运用 直角三角形直角三角形ABC中，中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等量这五个元素间有哪些等量关系呢？关系呢？ABCabc5个个6个元素个元素三边三边两个锐角两个锐角一个直角一个直角（已知）（已知）ABCabc ABC中，中，C为直角，为直角，A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，且，且b3，A30，求求B，a，cABCabc3 33030?（1）三边之间的关系）三边之间的关系a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；（2）锐角之间的关系）锐角之间的关系 A B 90（3）边角之间的关系）边角之间的关系解直角三角形的依据解直角三角形的依据ABCabcasin Acbcos Acatan Abbcotaa 在下图的在下图的RtABC中，中，（1）根据）根据A=60，斜边，斜边AB=6，试求出这，试求出这个直角三角形的其他元素个直角三角形的其他元素CABB30；AC3，BC33探究探究 （2）根据）根据AC=3，斜边，斜边AB=6，试求，试求出这个直角三角形的其他元素？出这个直角三角形的其他元素？CABB30；A60，BC33 在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可求出其余的元素结论结论知识要点知识要点 解直角三角形解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求未知在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫元素的过程，叫解直角三角形解直角三角形 【例例1】在在ABC中，中，C90，c8，B40，解这个直角三角形，解这个直角三角形(精确到精确到0.1)CBAabc解：解：A90 4050 400 60 684 8sin Asin.,aasin A.,ca.222284 86 4bca.【例例2】在在ABC中，中，C90，a5，求，求A、B、c边边 b 11解：解：22225116cab()50 86asin A.cA56.1，B9056.132.9CBAabc （1）在在ABC中，中，C90，b30，c40，解直角三角形解直角三角形a 10 7A41.4B48.6CBAabc （2）ABC中，中，C90，a、b、c分别分别为为A、B、C的对边，的对边，a6，sinA ，求，求b，c，tanA；ac12，b8，求，求a，c，sinB25 b c153 212 2121tan A 26103312 2613a,c,sinBCBAabc （3）在在ABC中，中，C为直角，为直角，A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、b、c，且，且c=287.4，B=426，解这个三角形，解这个三角形 a2133 b1927A4754已知已知两边两边两直角边一斜边，一直角边一边一角一边一角一锐角，一直角边一锐角，一斜边归纳归纳已知斜边求直边，已知斜边求直边，正弦余弦很方便；正弦余弦很方便；已知直边求直边，已知直边求直边，正切余切理当然；正切余切理当然；已知两边求一角，已知两边求一角，函数关系要选好；函数关系要选好；已知两边求一边，已知两边求一边，勾股定理最方便；勾股定理最方便；已知锐角求锐角，已知锐角求锐角，互余关系要记好；互余关系要记好；已知直边求斜边，已知直边求斜边，用除还需正余弦；用除还需正余弦；计算方法要选择，计算方法要选择，能用乘法不用除能用乘法不用除优选关系式优选关系式仰角和俯角铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行测量时：在进行测量时：从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角方向角如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南 【例例3】如图，如图，在上海黄埔江东岸，矗在上海黄埔江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔立着亚洲第一的电视塔“东方明珠东方明珠”，某校学，某校学生在黄埔江西岸生在黄埔江西岸B处，测得塔尖处，测得塔尖D的仰角为的仰角为45，后退，后退400m到到A点测得塔尖点测得塔尖D的仰角为的仰角为30，设塔底，设塔底C与与A、B在同一直线上，试求该在同一直线上，试求该塔的高度塔的高度ACBD3045解解:设塔高设塔高CD=x m在在RtBCD中，中，DNC=45BC=xCA=400+x在在RtACD中，中，DAC=30AC=xtan60=400+x340200(31)31x塔高塔高CD 为为 m 200(31)（1）如图，某飞机于空中）如图，某飞机于空中A处探测到目处探测到目标标C，此时飞行高度，此时飞行高度AC=1500米，从飞机上米，从飞机上看地平面控制点看地平面控制点B的俯角的俯角a=25，求飞机，求飞机A到控制点到控制点B距离（精确到距离（精确到1米）米）ABC解：在解：在RtABC中中sinACBAB12003000.0()sinsin250.4ACACABB米米ABC答：飞机答：飞机A到控制点到控制点B距离为距离为3000.0米米 （2）如图，某海岛上的观察所）如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只发现海上某船只B并测得其俯角并测得其俯角=82已知观察所已知观察所A的标高（当水的标高（当水位为位为0m时的高度）为时的高度）为45m，当时水位为，当时水位为+2m，求观察，求观察所所A到船只到船只B的水平距离的水平距离BC（精确到（精确到0.01m）解：解：cot,45243307.14()cotcot820.14ACABCACBCmA所以观察所所以观察所A到船只到船只B的水平距离的水平距离BC为为307.14m 【例例4】如图，海岛如图，海岛A四周四周45海里周围内海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处处见岛见岛A在北偏西在北偏西60，航行，航行18海里到海里到C，见岛，见岛A在北偏西在北偏西45，货轮继续向西航行，有无触，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？礁的危险？ABDCPP14560答：货轮有触礁危险答：货轮有触礁危险 PBA=60，P1CA=30，ABC=30，ACD=30，在在RtADC中，中，CD=ADcotACD=xcot60，在在RtADB中，中，BD=ADcot45=xcot45，BDCDBC，BC18 xcot45-xcot60=18 x9(31.732)=42.588 15 （2）正午）正午8点整，一渔轮在小岛点整，一渔轮在小岛O的北偏东的北偏东30方向，距离等于方向，距离等于20海里的海里的A处，正以每小时处，正以每小时10海里的速度向南偏东海里的速度向南偏东60方向航行那么渔轮到方向航行那么渔轮到达小岛达小岛O的正东方向是什么时间？（精确到的正东方向是什么时间？（精确到1分）分）10时时44分分3060AOBC （3）如图，海岛）如图，海岛A的周围的周围15海里内有暗礁，鱼海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛处测得海岛A位于位于北偏东北偏东60，航行，航行16海里到达点海里到达点C处，又测得海岛处，又测得海岛A位于北偏东位于北偏东30，如果鱼船不改变航向继续向东航，如果鱼船不改变航向继续向东航行有没有触礁的危险？行有没有触礁的危险？有触礁的危险有触礁的危险 【例例5】燕尾槽的横断面是等腰梯形，下燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是是45，外口宽外口宽AD是是180mm，燕尾槽的深度是，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽求它的里口宽BC（精确到（精确到1mm）解：等腰梯形中，解：等腰梯形中，AD=180mm，AE=70mm，B=45AEBCAEtanBBE22 70180320BCBEEFFCBEAD707045AEBEtanBtan又又BE=EC答：它的里口宽答：它的里口宽BC长为长为320mm 遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题角三角形的问题 如图，在离地面高度如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成拉线和地面成60角，求拉线角，求拉线AC的长以及拉线下的长以及拉线下端点端点A与杆底与杆底D的距离的距离AD（精确到（精确到0.01米）米）AC约为约为5.77米米AD约为约为2.89米米 （2）如图，在等腰梯形）如图，在等腰梯形ABCD中，中，DCAB，DEAB于于E，AB=10，DE=6，cosA=，求，求CD的长的长35CD的长为的长为1 坡面的铅直高度坡面的铅直高度h h和水平宽度的比叫做和水平宽度的比叫做坡坡度度（或叫做（或叫做坡比坡比），一般用），一般用i i表示把坡面与表示把坡面与水平面的夹角水平面的夹角叫做叫做坡角坡角坡度、坡角h ta n()hi 坡坡 角角 【例例6】（1）如图，温州某公园入口处原有）如图，温州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为三级台阶，每级台阶高为30cm，深为，深为30cm为方为方便残废人士，现拟将台阶改为斜坡，设台阶的起便残废人士，现拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为始点为A，斜坡的起始点为，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角，现将斜坡的坡角BCA设计为设计为12，求，求AC的长度的长度（sin12 0.2079）解：解：在在RtBDC中，中，C=12 AC=28260=222（cm）由题意得，由题意得，BD=60 tanBDCCD60tantan12BDCDC602820.2126 （2）如图，在山坡上种树，要求株距）如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜，测得斜坡的倾斜角是坡的倾斜角是24，求斜坡上相邻两树的坡，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到面距离是多少（精确到0.1m）上述问题可以归结为：上述问题可以归结为：在在RtABC中，中，C=90，AC=5.5，A=24，求，求AB 5.56.0()cos0.9135ACABA米米解：在解：在RtABC中，中，ACcos AAB答：斜坡上相邻两树的坡面距离是答：斜坡上相邻两树的坡面距离是6米米 （1）如图，沿）如图，沿AC方向开山修渠，为了加方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD=140，BD=500m，D=50，那么开挖点，那么开挖点E离离D多远（精确到多远（精确到0.1m），正好能使），正好能使A、C、E成一条直线？成一条直线？解：要使解：要使A、C、E在同一直线上，则在同一直线上，则ABD是是BDE的一个外角的一个外角BED=ABDD=90DE=BDcosD=5000.6428 =321.400321.4（m）答：开挖点答：开挖点E离离D为为321.4米，正好能使米，正好能使A、C、E成一直线成一直线 （2）如图）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽宽6m，坝高，坝高23m，斜坡，斜坡AB的坡度的坡度i=1 3，斜坡，斜坡CD的坡度的坡度i=1:2.5，求斜坡，求斜坡AB的坡面角的坡面角，坝底宽，坝底宽AD和斜坡和斜坡AB的长（精确到的长（精确到0.1m）坝底坝底AD的宽为的宽为132.5m，斜坡，斜坡AB的的长为长为72.7m （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案 利用解直角三角形的知识解决实际问利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：题的一般过程是：归纳归纳（1）三边之间的关系）三边之间的关系 a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；（2）锐角之间的关系）锐角之间的关系 A B 90（3）边角之间的关系）边角之间的关系1解直角三角形的依据解直角三角形的依据ABCabcasin Acbcos Acatan Abbcot Aa （1）将实际问题抽象为数学问题（画出）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案 2利用解直角三角形的知识解决利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：实际问题的一般过程是：1在在ABC中，中，C=90，解这个直角三角形，解这个直角三角形A=60，斜边上的高，斜边上的高CD=；3A=60，a+b=3+302460ACABcos Acos解：（解：（1）B=90-A=3003260CDsin AsinAC=2222422 3BCABAC60ABCD2在在RtABC中中C90，AD=2AC=2BD，且且DEAB（1）求）求tanB；（2）若）若DE=1，求，求CE的长的长ACBED24tanB CE53如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC=13，BC=10，求：求：sinB，cosB，tanB的值的值ABCD解解:过点过点A作作ADBC于于D，垂足为，垂足为DAB=AC=13，ADBC，BC=10BD=CD=5AD=12222ADBDAB12sin13ADBAB512cos135BDADBtanBABBD 4为测量松树为测量松树AB的高度，一个人站在距的高度，一个人站在距松树松树20米的米的E处，测得仰角处，测得仰角ACD=56，已知，已知人的高度是人的高度是176米，求树高（精确到米，求树高（精确到0.01米）米）解：在解：在RtACD中，中，tgC=AD/CD，AD=CDtanC=BEtanC=20tan56=201.482629.65(米米)AB=AD+BD=29.65+1.76=31.41(米米)答：树高答：树高31.41米米56ADBCED75450ABC 5如图，在如图，在ABC中，已知中，已知AC=8，C=75，B=45，求，求ABC的面积的面积8解解:过过C作作CDAB于于D，B=45，ACB=75 A=60 sinA=cosA=CDACADAC BDC=90SABC=114 344 3248 322AB CDBCD=45 BD=CD=4 3CD=ACsin60=4 3AD=ACcos60=4AC1000米米570米米B 6我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为米，山高为580米，如果这辆坦克能够爬米，如果这辆坦克能够爬30的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？A 30这辆坦克不能通过这座小山这辆坦克不能通过这座小山tan 30=330.577 tan30tanA=BCAC=5801000解：解：BCAC，BC=570米米，AC=1000米米=0.58 1.42 32 AB=6.18m，AD=3.63m.3 143m.4 4 221m.
展开阅读全文