2019年湖南单招文科数学模拟试题【含答案】

年湖南单招文科数学模拟试卷（一）【含答案】一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合，则（） 若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（） 已知、（），从这四个数中任取一个数，使函数（）有极值点的概率为（） 如图，若，则输出的数等于（） 经过点（，），渐近线与圆（）相切的双曲线的标准方程为（） 已知三棱锥的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（） 已知函数（）（），则下列说法正确的为（）函数（）的最小正周期为（）在，单调递减（）的图象关于直线对称将（）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象已知数列的前项和，正项等比数列中，（），则（） 已知实数，满足时，（）的最大值为，则的最小值为（） 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（） 若，函数（）（）与（）的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为（）（， （，） （，） （，）已知函数（），若对任意的，（）（）恒成立，则实数的取值范围是（）（， （，） （， ，）二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上）在中，为中线上的一个动点，若，则（）的最小值为 在平面直角坐标系中，已知圆：（）（），点（，），若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是 已知等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当*时，的最大值与最小值之和为 如图，有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是的直径，上底的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为 三、解答题（本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知函数（），（）若，（）有两个不同的根，求的取值范围；（）已知的内角、的对边分别为、，若（），且、成等差数列，求的面积某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该盒饭获利润元，未售出的产品，每盒亏损元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；（）将表示为的函数；（）根据频率分布直方图估计利润不少于元的概率已知四棱台的下底面是边长为的正方形，且面，点为的中点，点在上，与面所成角的正切值为（）证明：面；（）求证：面，并求三棱锥的体积已知过点（，）的直线与抛物线相交于（，）、（，）两点（）求直线倾斜角的取值范围；（）是否存在直线，使、两点都在以（，）为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由已知函数（）（）（）讨论函数（）的单调性；（）设（），对任意给定的（，方程（）（）在（，有两个不同的实数根，求实数的取值范围（其中，为自然对数的底数）选修：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于，两点（）求曲线的直角坐标方程及直线恒过的顶点的坐标；（）在（）的条件下，若，求直线的普通方程选修：不等式选讲设函数（），（）当时，解不等式：（）；（）若关于的不等式（）的解集为，且两正数和满足，求证：年湖南单招文科数学模拟试卷（一）参考答案一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合，则（） 【考点】：交集及其运算【分析】求出集合的等价条件，结合交集运算进行求解即可【解答】解：，则，故选：若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（） 【考点】：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出【解答】解：复数的实部与虚部相等，解得故选：已知、（），从这四个数中任取一个数，使函数（）有极值点的概率为（） 【考点】：利用导数研究函数的极值；：古典概型及其概率计算公式【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出的范围，通过判断，的范围，得到满足条件的概率值即可【解答】解：（），若函数（）有极值点，则（）有个不相等的实数根，故，解得：或，而，、，（），满足条件的有个，分别是，故满足条件的概率，故选：如图，若，则输出的数等于（） 【考点】：程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出的值，由裂项法即可计算得解【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出的值，又由：（）（）（）故选：经过点（，），渐近线与圆（）相切的双曲线的标准方程为（） 【考点】：双曲线的标准方程【分析】设双曲线的渐近线方程为（，），利用渐近线与圆（）相切，可得渐近线方程，设出双曲线方程，代入点（，），即可得出结论【解答】解：设双曲线的渐近线方程为（，）渐近线与圆（）相切，渐近线方程为双曲线方程设为，代入点（，），可得，双曲线方程为故选：已知三棱锥的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（） 【考点】：异面直线及其所成的角【分析】取中点，连结，则，从而是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线与所成角的余弦值【解答】解：取中点，连结，三棱锥的各棱长都相等，为中点，是异面直线与所成角（或所成角的补角），设三棱锥的各棱长为，则，异面直线与所成角的余弦值为故选：已知函数（）（），则下列说法正确的为（）函数（）的最小正周期为（）在，单调递减（）的图象关于直线对称将（）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象【考点】：三角函数的周期性及其求法；：正弦函数的单调性【分析】化函数（）为正弦型函数，再判断选项中的命题是否正确【解答】解：函数（）（）（）（），（）的最小正周期为，错误；，时，（）是单调递增函数，错误；当时，（）（）（），不是（）的对称轴，错误；将（）的图象向右平移，得（）的图象，再向下平移个单位长度得的图象，它是奇函数，正确故选：已知数列的前项和，正项等比数列中，（），则（） 【考点】：数列递推式【分析】利用，即可得到验证可知，均不符合，即可得出【解答】解：（）（），验证可知，均不符合，故答案为已知实数，满足时，（）的最大值为，则的最小值为（） 【考点】：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的最大值，确定最优解，然后利用基本不等式进行判断【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由（）得，则斜率，则由图象可知当直线经过点（，）时，直线的截距最大，此时，则（）（），当且仅当，即取等号此时不成立，故基本不等式不成立设，即，则在（，上单调递减，当时，取得最小值为即的最小值为，故选：如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（） 【考点】!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知几何体为从边长为的正方体切出来的三棱锥作出直观图，计算各棱长求面积【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为的正方体切出来的三棱锥作出直观图如图所示：其中，为正方体的顶点，为正方体棱的中点，由勾股定理得，几何体的表面积为故选若，函数（）（）与（）的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为（）（， （，） （，） （，）【考点】：函数零点的判定定理【分析】当时，显然不成立；当时，（），因为（），所以仅对对称轴进行讨论即可【解答】解：当时，当时，（），又二次函数（）（）开口向下，当时，（）（），故当时不成立；当时，因（），不符合题意；当时，若，即时结论显然成立；若，时只要（）（）（）即可，即，综上：故选：已知函数（），若对任意的，（）（）恒成立，则实数的取值范围是（）（， （，） （， ，）【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；：利用导数研究函数的单调性【分析】对任意的，（）（）恒成立对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，恒成立，求出在，上的最小值即可【解答】解：对任意的，（）（）恒成立对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，恒成立，又（）在，上单调递增，故选：二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上）在中，为中线上的一个动点，若，则（）的最小值为【考点】：平面向量数量积的运算【分析】由已知中中，为中线上的一个动点，若，我们易将（）转化为（）的形式，然后根据二次函数在定区间上的最值的求法，得到答案【解答】解：为的中线，故为的中点则则（）（）（）当时， （）的最小值为故答案为：在平面直角坐标系中，已知圆：（）（），点（，），若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是，【考点】：点与圆的位置关系；：两点间的距离公式【分析】设点（，），由题意得（），若圆上存在点满足也就等价于圆与圆有公共点，由此能求出实数的取值范围【解答】解：设点（，），由题意得点（，），（，）及，即（），整理得（），即点在圆：（）上若圆上存在点满足也就等价于圆与圆有公共点，所以，即，整理得，解得，即实数的取值范围是，故答案为：，已知等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当*时，的最大值与最小值之和为【考点】：等比数列的前项和【分析】根据等比数列的求和公式求出，分为奇数或偶数计算出的范围，从而得出的最大值与最小值【解答】解：（），（）当为奇数时，（）当为偶数时，对于任意*，令，（），则（）在，上单调递增，（）的最小值为（），（）的最大值为（），的最小值为，最大值为，的最大值与最小值之和为故答案为：如图，有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是的直径，上底的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为【考点】：函数模型的选择与应用【分析】作于，连接，根据相似关系求出，而，从而求出梯形的周长与腰长间的函数解读式，根据，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值【解答】解：如图，作于，连接因为为直径，所以在与中，所以所以，即又，所以所以，于是由于，所以，解得，故所求的函数为（）（），又，所以，当时，有最大值三、解答题（本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知函数（），（）若，（）有两个不同的根，求的取值范围；（）已知的内角、的对边分别为、，若（），且、成等差数列，求的面积【考点】：三角函数中的恒等变换应用；：正弦函数的图象【分析】（）化简（），问题转化为和（）在，有个不同的交点，画出函数的图象，求出的范围即可；（）求出的值，根据正弦定理得到，根据余弦定理得到（），求出的值，从而求出三角形的面积即可【解答】解：（）函数（），（）（），（）（），若，（）有两个不同的根，则和（）在，有个不同的交点，画出函数的图象，如图所示：，结合图象得；（）由（），解得：或，由、成等差数列，结合正弦定理得，故，且（），故（），故（）某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该盒饭获利润元，未售出的产品，每盒亏损元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；（）将表示为的函数；（）根据频率分布直方图估计利润不少于元的概率【考点】：频率分布直方图；：众数、中位数、平均数【分析】（）由频率分布直方图能估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数（）因为每售出盒该盒饭获利润元，未售出的盒饭，每盒亏损元，当时，当时，由此能将表示为的函数（）由利润不少于元，得，由此能求出利润不少于元的概率【解答】解：（）由频率分布直方图得：最大需求量为盒的频率为这个开学季内市场需求量的众数估计值是需求量为，）的频率为，需求量为，）的频率为，需求量为，）的频率为，需求量为，）的频率为，需求量为，）的频率为，则平均数： （）因为每售出盒该盒饭获利润元，未售出的盒饭，每盒亏损元，所以当时，当时，所以，（）因为利润不少于元，所以，解得所以由（）知利润不少于元的概率已知四棱台的下底面是边长为的正方形，且面，点为的中点，点在上，与面所成角的正切值为（）证明：面；（）求证：面，并求三棱锥的体积【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；：直线与平面平行的判定【分析】（）取中点，连接、，过作于，可证四边形为平行四边形，得出，故而面；（）由面可得，由相似三角形可得，故而平面，求出到平面的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积【解答】解：（）证明：取中点，连接、，过作于面，面为与面所成角，又，（），又，四边形为平行四边形，又面，面，面（）面，平面，又，面，又平面，在梯形中，又，平面，平面，面设，又，已知过点（，）的直线与抛物线相交于（，）、（，）两点（）求直线倾斜角的取值范围；（）是否存在直线，使、两点都在以（，）为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由【考点】：直线与抛物线的位置关系【分析】（）设直线的方程，代入抛物线方程，利用，即可求得的取值范围，求得直线倾斜角的取值范围；（）设圆的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，即可求得的值及直线的斜率，求得直线及圆的方程【解答】解：（）由已知直线的斜率存在且不为设：（），则，整理得：，解得：且直线倾斜角的取值范围（，）（，）；（）设：（），（），则，则，又由（）知，并且时，方程的判别式（），由（），解得：，存在定圆，经过、两点，其方程为：（），此时直线方程为（）已知函数（）（）（）讨论函数（）的单调性；（）设（），对任意给定的（，方程（）（）在（，有两个不同的实数根，求实数的取值范围（其中，为自然对数的底数）【考点】：利用导数研究函数的单调性；：根的存在性及根的个数判断【分析】（）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（）求出（）的导数，根据函数的单调性求出的范围即可【解答】解：（）（）（），当时，（），（）在（，）单调递增当时，（），（）在（，）单调递增当时，令（），解得：，令（），解得：，故（）在（，）递增，在（，）递减（）（），（），（，），（），（）单调递增，（，）时，（），（）单调递减，（，时，（）的值域为（，由已知，由（），由（），令（）知（）单调递增，而（），（，）时，（，），综合以上，选修：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于，两点（）求曲线的直角坐标方程及直线恒过的顶点的坐标；（）在（）的条件下，若，求直线的普通方程【考点】：参数方程化成普通方程；：简单曲线的极坐标方程【分析】（）由，能求出曲线的直角坐标方程，由直线的参数方程能求出直线恒过的定点的坐标（）把直线的方程代入曲线的直角坐标方程中，得：（）由的几何意义知，点在椭圆内，这个方程必有两个实根，从而得到，进而求出，由此能求出直线的方程【解答】解：（）曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为： 直线的参数方程是（为参数），直线恒过定点为（，）（）把直线的方程代入曲线的直角坐标方程中，整理，得：（）由的几何意义知，点在椭圆内，这个方程必有两个实根，即，（，），直线的方程为选修：不等式选讲设函数（），（）当时，解不等式：（）；（）若关于的不等式（）的解集为，且两正数和满足，求证：【考点】：绝对值不等式的解法【分析】（）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可（）根据不等式的解集求出，利用的代换结合基本不等式进行证明即可【解答】（）解：当时，不等式：（），可化为时，不等式可化为，；，不等式可化为，；，不等式可化为，综上所述，不等式的解集为（；（）证明：不等式（）的解集为，（）（）（），当且仅当，时取等号21 / 21