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第七章 第1讲解析几何直线的方程考纲要求考点分布考情风向标1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系2011年新课标第14题考查简单线性规划求截距的最小值；2012年新课标第5题考查简单线性规划求截距的取值范围；2013年新课标第14题考查简单线性规划求截距的最大值；2013年新课标第12题考查直线与面积；2014年新课标第11题考查已知简单线性规划截距的最小值，求参数；2015年新课标第15题考查简单线性规划求截距的最大值；2016年北京考查一次函数的单调性1.本节是解析几何的基础，它渗透到解析几何的各个部分，复习时应把握基础点，重视基础知识之间的联系，注意基本方法的相互结合，提高通性通法的熟练程度，提高选择题和填空题的正确率.2.在本节的复习中，注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利用该特征量解决问题往往能达到事半功倍的效果1.直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角，叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_.(2)倾斜角的取值范围是_.00，)2.直线的斜率(1)定义：当90时，一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母 k 表示，即 ktan.当90时，直线没有斜率.(2)经过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为_.ky2y1x2x1名称方程适用范围点斜式yy1k(xx1)不含垂直于 x 轴的直线斜截式_不含垂直于 x 轴的直线两点式不含垂直于坐标轴的直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A，B 不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用3.直线方程的五种形式ykxb4.过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若 x1x2，且 y1y2，则 直 线 垂 直 于 x 轴，方 程 为_.(2)若 x1x2，且 y1 y2，则 直 线 垂 直 于 y 轴，方程为_.xx1yy15.线段的中点坐标公式x1x22y1y22A.30C.150B.60D.120C直线 l 的方程为()AA.3x4y140C.4x3y140B.3x4y140D.4x3y1403.已知点 A(1,2)，B(3,1)，则线段 AB 的垂直平分线的方程为(B)A.4x2y5C.x2y5B.4x2y5D.x2y51a是()BABCD4.(2016 年天津期末)如图，方程 yax 表示的直线可能等于_.12考点 1 直线的方程考向 1 倾斜角和斜率例 1：已知两点 A(2，3)，B(3,0)，过点 P(1,2)的直线l 与线段 AB 始终有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围.解：方法一，如图 D39，直线 PA 的斜率是k12(3)5.1(2)直线 PB 的斜率是图 D39k202 1 .3(1)2当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的 PC 位置时，它的倾斜角由锐角(tan 5)增至 90，斜率的变化范围是5，)；当直线 l 由 PC 变化到 PB 位置时，它的倾斜角由 90增至直线 l 的斜率 k 的取值范围是：方法二，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk20，直线 l 与线段 AB 有公共点，则点 A，B 在直线 l 的两侧(或在直线上).有k(2)(3)k2(3kk2)0，直线 l 的斜率 k 的取值范围是：【规律方法】请注意本题是指直线 l 与线段 AB(而不是直线AB)有公共点.首先求出直线 PA，PB 的斜率(边界)，然后数形结合利用倾斜角及斜率的变化规律得出斜率的取值范围；也可以【互动探究】1.已知直线 l 经过点 P(1,1)，且与线段 MN 相交，M(2,3)，N(3，2)，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是_.考向 2 截距例 2：求过点 A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l 的方程.解：当直线过原点时，它在 x 轴、y 轴上的截距都是 0，满足题意.此时，直线的斜率为 .12【规律方法】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍(m0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况.【互动探究】2.求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的方程.3.求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程.4.求过点 A(4,2)且在 x 轴上截距是在 y 轴上截距的 3 倍，求直线 l 的方程.方程为 x3y100.综上所述，所求直线方程为 x3y100.5.求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为 12 的直线 l 的方程.考向 3 直线的方程例 3：直线 l1：3xy10，直线 l2 过点(1,0)，且 l2 的倾斜角是 l1 的倾斜角的 2 倍，则直线 l2 的方程为()A.y6x1B.y6(x1)方法二，由 l2 过点(1,0)，排除 A 选项，由 l1 的斜率 k131知，其倾斜角大于 45，从而直线 l2 的倾斜角大于 90，斜率为负值，排除 B，C 选项.故选 D.答案：D【规律方法】题中直线 l2 的倾斜角是 l1 的倾斜角的 2 倍，不要理解为 l2 的斜率为 l1 的斜率的 2 倍，应该设直线 l1 的倾斜角为，由 tan 3，可求出直线 l2 的斜率 ktan 2.考点 2 直线方程的综合应用例 4：如图 7-1-1，过点 P(2,1)的直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，求满足：图 7-1-1(1)AOB 面积最小时 l 的方程；(2)|PA|PB|最小时 l 的方程.思维点拨：可先设截距式方程，再由基本不等式求解；也可先设点斜式方程，求出与坐标轴的交点坐标，再由基本不等式求解.|PA|PB|取最小值 4.此时直线 l 的方程为 xy30.方法二，设直线 l 的方程为 y1k(x2)(k0)，此时直线 l 的方程为 y1(x2)，即 xy30.【互动探究】6.已知直线 x2y2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，若动点 P(a，b)在线段 AB 上，则 ab 的最大值为_.12思想与方法 直线中的函数与方程思想例题：如果直线 l 经过点 P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 S.(1)当 S3 时，这样的直线 l 有多少条？(2)当 S4 时，这样的直线 l 有多少条？(3)当 S5 时，这样的直线 l 有多少条？(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，求 S 的取值范围；(5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，求 S 的取值范围；(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，求 S 的取值范围.前一个方程的0 有两个不相等的解，所以这样的直线 l 共有 2 条.前一个方程0 有一个解，后一个方程0 有两个不相等的解，所以这样的直线 l 共有 3 条.前一个方程0 有两个不相等的解，后一个方程0 有两个不相等的解，所以这样的直线 l 共有 4 条.(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，则：即 a22Sa4S0 或 a22Sa4S0.后一个方程0 恒成立，肯定有两个不相等的解，所以如果这样的直线有且只有 2 条，那么前一个方程必须有0，即(2S)244S0 恒成立，肯定有两个不相等的解，所以如果这样的直线有且只有 3 条，那么前一个方程必须有0，即(2S)244S0.故 S4.(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，则：即 a22Sa4S0 或 a22Sa4S0.后一个方程0 恒成立，肯定有两个不相等的解，所以如果这样的直线有且只有 4 条，那么前一个方程必须有0，即(2S)244S0.故 S 的取值范围为(4，).【规律方法】因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形的面积，所以解本题的关键就在于能否很敏锐地想到利用直线方想，应把握题型，注意一题多变，培养思维的灵活性和发散性.【互动探究】7.过点 P(2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直线共有()A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条解析：设过点 P(2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12 的直线的斜率为 k，则有直线的方程为 y3k(x2)，即kx y 2k 3 0.它与坐标轴的交点分别为 M(0,2k 3)，故满足条件的直线有 3 条.答案：C
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