初中数学变式教学的理论与案例分析-2015

初中数学变式教学的理论与案例分析华东师范大学数学系华东师范大学数学系 鲍建生鲍建生欢迎投稿编辑部电子信箱：编辑部电子信箱：在线视频介绍（忻重义）：在线视频介绍（忻重义）：http:/ 原題原題已知已知：B=C,求证：求证：AB=AC.情境性变式情境性变式：小小强想证明下面的问题强想证明下面的问题：“有两个角（图中的有两个角（图中的B 和和 C）相）相等的三角形是等腰三角形等的三角形是等腰三角形”.但他不小但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的心将图弄脏了，只能看见图中的C和和边边BC.请问：他能够把图恢复成原来的请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？样子吗？BC第2步:学生独立探究问题：你能够证明这样画出的三角形是等腰三角形吗问题：你能够证明这样画出的三角形是等腰三角形吗方法方法1：量出量出 C的的大小大小;作作 B C;则则B的一条边和的一条边和C的一条边的延长的一条边的延长线交于点线交于点A.方法方法2：作边：作边BC的垂直平分线与的垂直平分线与C的另一边的的另一边的延长线交于点延长线交于点A.方法方法3：如图，：如图，将长方形纸片将长方形纸片对折使点对折使点B和和点点C重合，找重合，找到到 C与折痕与折痕的交点的交点A第3步：证明定理学生自己发现的不同证法：学生自己发现的不同证法：证法证法2：过：过A作作AD垂直垂直于于BC,证明证明 ABD ACD证法证法5：证明：证明 ABC ACB证法证法4：（反证法反证法）：假设假设ABAC,那么那么 C B.证法证法1：作：作A的平的平分线，然后证明：分线，然后证明：ABT ACT錯誤錯誤!证法证法3：过：过A作作BC边上边上的中线，证明：的中线，证明：ABMACM 引子引子2 2：铺垫与脚手架：铺垫与脚手架 有层次的推进有层次的推进 可以保留在头脑中可以保留在头脑中 脚踏实地脚踏实地 目标驱动目标驱动 途徑途徑单一单一,进度不同进度不同 跳来跳去跳来跳去 临时的临时的 风险大风险大 活动驱使活动驱使 多种途徑，多种进度多种途徑，多种进度引子引子3：数学思维的特征：数学思维的特征1.数学是一门形式的科学，数学对象通常都有多种数学是一门形式的科学，数学对象通常都有多种表达形式；表达形式；2.基于变式的化归是数学问题解决的基本思路；基于变式的化归是数学问题解决的基本思路；3.提高练习效率的重要途径：举一反三和反三归一提高练习效率的重要途径：举一反三和反三归一.02 0 1 522021210.70.31 0 0%2330.92lo g11.2 3 s ins ins inc o slim22222axaxxi 引子4：变式教学存在的问题1.变式教学在我国具有广泛的实践经验，但许多老师都是变式教学在我国具有广泛的实践经验，但许多老师都是在不自觉地运用变式教学的思想。在不自觉地运用变式教学的思想。需要把变式教学变成一个自觉的行为需要把变式教学变成一个自觉的行为2.变式教学的目的是让学生学得聪明一点，但很多时候变变式教学的目的是让学生学得聪明一点，但很多时候变成了单纯的变式训练。成了单纯的变式训练。应该通过变式教学，拓展学生的思维应该通过变式教学，拓展学生的思维4.许多老师觉得，变式教学挺好，但不容易设计有效的变许多老师觉得，变式教学挺好，但不容易设计有效的变式问题。式问题。寻找变式教学设计的有效工具寻找变式教学设计的有效工具3.变式教学的目的是针对最近发展区构建教学支架，但有变式教学的目的是针对最近发展区构建教学支架，但有的变式活动成为的变式活动成为“脚踩西瓜皮，滑到哪里是哪里脚踩西瓜皮，滑到哪里是哪里”应该通过变式教学，聚焦核心概念和思想方法应该通过变式教学，聚焦核心概念和思想方法一、中国的变式教学与西方的一、中国的变式教学与西方的变易理论变易理论中国中国 数学变式教学中的各种变式数学变式教学中的各种变式 概念性变式概念性变式 过程性变式过程性变式 概念变式概念变式 非概念变式非概念变式 标准变式标准变式 非标准变式非标准变式 问题解决的变式化归问题解决的变式化归 解题三部曲解题三部曲 铺垫教学铺垫教学 精致练习精致练习 马顿的变易理论马顿的变易理论为了认识某个事物，就必须注意到这个事为了认识某个事物，就必须注意到这个事物与其他事物之间的不同。为了注意这个物与其他事物之间的不同。为了注意这个事物与其他事物在某个属性上的不同，这事物与其他事物在某个属性上的不同，这个属性就必须在某个维度上发生变化。在个属性就必须在某个维度上发生变化。在所有其他属性都保持不变的情况下，这个所有其他属性都保持不变的情况下，这个差异才可以被识别出来。差异才可以被识别出来。F.Marton变式教学与变易理论的联系变式教学与变易理论的联系有效教学有效教学变式教学变式教学变易理论变易理论数学任务数学任务学习空间学习空间知识结构知识结构思想方法思想方法学科能力学科能力概念理解概念理解技能训练技能训练问题解决问题解决灵活性灵活性适应性适应性创造性创造性整体整体属性属性样例样例部分部分基于关键属性的教学设计基于关键属性的教学设计拓展学习空间拓展学习空间例子例子属性属性部分部分整体整体关键关键属性属性课堂课堂教学教学设计设计与研与研究的究的工具工具多维度的多维度的学习空间学习空间确定最近发展区确定最近发展区扩展思维空间扩展思维空间构建知识网络构建知识网络聚焦核心概念聚焦核心概念加深数学理解加深数学理解基于数学推理的学习空间基于数学推理的学习空间属性属性2 2：过程：过程关关系系推推理理归归纳纳推推理理类类比比推推理理反反例例规规则则推推理理数关系数关系几何图形几何图形属性属性1 1：内容：内容数概念数概念数运算数运算测量测量数据分析数据分析理解概念和法则理解概念和法则属性属性3 3：产品：产品形成概念和法则形成概念和法则提出问题和猜想提出问题和猜想养成说理习惯养成说理习惯学习数学的思维方式学习数学的思维方式属性属性4 4：情境：情境数学情境数学情境故事情境故事情境游戏情境游戏情境现实情境现实情境科学情境科学情境二、变式教学的案例分析案例案例1：无理数的学习空间：无理数的学习空间关键属性关键属性2：背景：背景几几何何方方程程函函数数小小数数极极限限关键属性关键属性4：应用：应用方程问题方程问题不等式问题不等式问题函数问题函数问题关键属性关键属性3：算与证：算与证结构：代数，序，拓扑结构：代数，序，拓扑证明证明：不能写成整数之比：不能写成整数之比性质：封闭性，稠密性性质：封闭性，稠密性算法：加减乘除算法：加减乘除关键属性关键属性1：形式：形式特例：特例：2，无限不循环小数无限不循环小数数轴上的点数轴上的点变式：变式：2+教学路径（1）1.背景：正方形背景：正方形22a 2.形式：数轴上的点形式：数轴上的点0 1 a 2 3.形式：小数估计形式：小数估计12a1.41.5a1.411.42a1.4141.415a1.41431.4144a教学路径（2）4.算与证：可以写成两个整数之比吗？算与证：可以写成两个整数之比吗？5.形式：无限不循环小数形式：无限不循环小数22222222,222,2,qqap qappqpqpkpp不可约，则，是偶数，设q=2k，则4k是偶数，矛盾.对比：有限小数和无限循环小数都可以写成分数对比：有限小数和无限循环小数都可以写成分数6.形式：根号形式：根号教学路径（3）7.形式：还有其它这样的数码？形式：还有其它这样的数码？2121,21qqqpppp 2xx，是有理数?2-xx，是有理数?22,xxx，是有理数?xx，是整数？0.1234567891011121314是无理数吗？x.1234567891011121314是无理数吗？0.4143135623730是无理数吗？教学路径（4）8.算与证：两个无理数的运算结果一定是无理数码？算与证：两个无理数的运算结果一定是无理数码？2xx，是无理数?（反例？）22,xxx，是无理数?（反例？）0.1234567891011121314x.1234567891011121314=无理数？案例案例2 2：等腰三角形：等腰三角形属性属性1：导入：导入三角形的分类三角形的分类 对称性对称性生活图案生活图案属性属性2：性质：性质定定义义边边角角关关系系三三线线合合一一轴轴对对称称属性属性3：典型例题：典型例题作图与构造：镰刀图形作图与构造：镰刀图形判定形状：作业布置判定形状：作业布置度量计算：度量计算：属性属性4：问题情境：问题情境折剪问题折剪问题拼图问题拼图问题对称问题对称问题折纸折纸对称与运动：对称与运动：运动问题运动问题典型例题的设计典型例题的设计1 例例1（第一组教案中的第一组教案中的“作业布置作业布置”）：在一个）：在一个任意的三角形任意的三角形ABC中，如中，如果果 BO是是B的平分线，的平分线，CO是是C的平分线的平分线,EF/BC，那么，那么 图中有多少个等腰三角形？图中有多少个等腰三角形？为什么？为什么？线段线段 EF,BE 和和 FC之间有什么关系？之间有什么关系？思考：你认为这道题目对初二学生来说有困难吗？如思考：你认为这道题目对初二学生来说有困难吗？如果有的话，你打算做什么样的铺垫？果有的话，你打算做什么样的铺垫？变式铺垫变式铺垫变式铺垫变式铺垫2：在前述在前述图形中，过点图形中，过点O 作作 EF/BC.图中有多少个等图中有多少个等腰三角形？腰三角形？线段线段EF,BE和和FC之间有什么关系？之间有什么关系？原始问题：原始问题：如果如果 B C,那么那么 有多少个等腰三有多少个等腰三角形？为什么？角形？为什么？线段线段EF,BE和和FC之间有什么关系？之间有什么关系？变式铺垫变式铺垫1：给定给定等腰三角形等腰三角形ABC,BO 是是 B的平分的平分线，线，CO是是C的的平分线。根据上述平分线。根据上述条件，你能得出什条件，你能得出什么结论？么结论？典型例题的设计：镰刀图形典型例题的设计：镰刀图形两块三角形两块三角形案例案例3 3：二次函数：二次函数属性属性1：导入：导入一次函数一次函数抛物线抛物线二次方程二次方程属性属性2：性质：性质零零点点开开口口方方向向对对称称性性单单调调性性属性属性3：典型例题：典型例题根的分布：根的分布：解析式：待定系数法解析式：待定系数法对称性：数学变换对称性：数学变换属性属性4：问题情境：问题情境抛物线问题抛物线问题最值问题最值问题几何问题几何问题面积问题面积问题因式分解：因式分解：运动问题运动问题顶顶点点案例案例4 4：平方差公式：平方差公式属性属性1：导入：导入简化计算简化计算 面积面积多项式乘法多项式乘法属性属性2：形式：形式字字母母代代数数式式抽抽象象符符号号逆逆向向变变形形属性属性3：典型例题：典型例题对称性：对称性：算法：算法：几何：几何：属性属性4：问题情境：问题情境计算问题计算问题化简问题化简问题几何问题几何问题添项与减项添项与减项因式分解：因式分解：方程问题方程问题数数字字案例案例5 5：不等式性质：不等式性质属性属性1：导入：导入等式的性质等式的性质 天平天平数轴数轴属性属性2：性质：性质乘乘除除正正数数乘乘除除负负数数乘乘方方不不等等式式的的定定义义属性属性3：典型例题：典型例题非负数：三角形代换非负数：三角形代换差比较法：差比较法：商比较法换：商比较法换：属性属性4：问题情境：问题情境解不等式解不等式路程问题路程问题度量问题度量问题数的大小关系数的大小关系取值范围：取值范围：最值问题最值问题加加减减法法案例案例6 6：概率的意义：概率的意义属性属性1：导入：导入数学问题数学问题 实验操作实验操作日常经验日常经验属性属性2：性质：性质规规律律预预测测量量化化误误差差属性属性1：典型问题情境：典型问题情境投硬币与骰子投硬币与骰子产品检验产品检验摸球与彩票摸球与彩票故事故事几何几何变变异异案例案例7 7：平行线性质：平行线性质属性属性1：导入：导入数学问题数学问题 实际情境实际情境讨论三线八角讨论三线八角属性属性2：性质：性质内内错错角角同同旁旁内内角角唯唯一一性性三三角角形形内内角角和和属性属性3：基本图形：基本图形“F”形形“Z”形形“E”形形属性属性4：问题情境：问题情境几何问题几何问题拼图问题拼图问题折纸问题折纸问题由判定定理导入由判定定理导入“”形形运动问题运动问题调调味味酱酱三、变式教学的理论基础三、变式教学的理论基础变式教学是中国数学教学的特色之一变式教学是中国数学教学的特色之一1.“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也。”（论语论语.述而第七述而第七）2.“君子之教，喻也。君子之教，喻也。”“”“道而弗牵，强而弗抑，开而弗道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和易以思，可谓善喻矣。易以思，可谓善喻矣。”（礼记礼记学记学记）3.中国数学教育的特色之一是中国数学教育的特色之一是“变式训练变式训练”，（张奠宙、，（张奠宙、李士锜、李俊，李士锜、李俊，2002）4.在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一。（在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一。（教教育大辞典育大辞典，顾明远，顾明远，1999）5.变式是教学中使学生确切掌握概念的方法之一，即从不变式是教学中使学生确切掌握概念的方法之一，即从不同方面、不同角度和不同情况来说明某一事物，从而概同方面、不同角度和不同情况来说明某一事物，从而概括出事物的一般属性。（括出事物的一般属性。（实用教育大辞典实用教育大辞典，王焕勋，王焕勋，1995）1.有助于形成良好的认知结构有助于形成良好的认知结构双基双基典型例题典型例题数学思想方法数学思想方法2.在较大的认知单元上工作在较大的认知单元上工作课例：课例：“二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用”复习课复习课例例 5例例 4例例 6例例 3例例 7例例 2例例 8例例 1原设计原设计新设计新设计例例 5例例 4例例 6例例 3例例 7例例 2例例 8例例 13.强化知识的主干强化知识的主干大学之法，禁于未发之谓大学之法，禁于未发之谓豫豫，当其可之谓，当其可之谓时时，不陵节而施，不陵节而施之谓之谓孙孙，相观而善之谓，相观而善之谓摩摩。此四者，教之所由兴也。发然。此四者，教之所由兴也。发然后禁，则捍格而不胜；时过然后学，则勤苦而难成；杂施后禁，则捍格而不胜；时过然后学，则勤苦而难成；杂施而不孙，则坏乱而不修；独学而无友，则孤陋而寡闻；燕而不孙，则坏乱而不修；独学而无友，则孤陋而寡闻；燕朋逆其师；燕辟废其学。此六者，教之所由废也。朋逆其师；燕辟废其学。此六者，教之所由废也。_ _（学记）（学记）Learning with understanding is facilitated when new and existing knowledge is structured around the major concepts and principles of the discipline.（National Research Council，2002)变式与教学层次理论教学设计上要求：第一，首先要确定各分任务；第二教学设计上要求：第一，首先要确定各分任务；第二，保证各分任务的完成；第三，设计一个完成这些任，保证各分任务的完成；第三，设计一个完成这些任务的顺序，以便产生理想的迁移。务的顺序，以便产生理想的迁移。（Gagn,1968）“学习过程是由各种层次构成的，用低层次的方法组学习过程是由各种层次构成的，用低层次的方法组织的活动就成为高层次的分析对象；低层次的运算内织的活动就成为高层次的分析对象；低层次的运算内容又成为高层次的题材容又成为高层次的题材”（弗赖登塔尔，（弗赖登塔尔，p.114）“在一般情况下，层次序列是指一系列的技能（在一般情况下，层次序列是指一系列的技能（skills）、水平）、水平(levels)、阶段、阶段(stages)、概念、概念(concepts)由简单到复杂的排序由简单到复杂的排序”（K.Hart,1981,p.205）4.聚焦本源性问题（化归思维）聚焦本源性问题（化归思维）乌鲁木齐市第十三中学乌鲁木齐市第十三中学 胡玉社胡玉社5.举一反三与一以贯之举一反三与一以贯之原始问题原始问题变式变式 1变式变式 2变式变式 3关于变式教学的研究历关于变式教学的研究历程程1.顾泠沅顾泠沅(1977 1990).上海青浦实验上海青浦实验 2.顾泠沅顾泠沅(1991).学会教学学会教学.人民教育出版社人民教育出版社 3.鲍建鲍建生生,黄荣黄荣金金,易凌峰易凌峰&顾泠沅顾泠沅(2003).变式教学研究变式教学研究.数学教数学教学学,1-3 4.聂必凯聂必凯(2004).数学变式教学的探索性研究数学变式教学的探索性研究.华东师大博士论文华东师大博士论文5.Gu L.,Huang,R.&Marton,F.(2004).Bianshe Jiaoxue(Teaching with variation):An effective way of mathematics teaching in China.In L.Fan,N.Y.Wong,J.Cai,&S.Li(Eds.),HowChinese learn mathematics:Perspectives from insiders(pp.309-348).Singapore:World Scientific 本报告主要基于上述的研究本报告主要基于上述的研究谢谢！谢谢！