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8-9 圆锥曲线的综合问题课时规范练A组基础对点练1(2018东北三省四市联考)在平面直角坐标系中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，点M在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)已知P(2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值解析：(1)由题可知e，所以a2c，则椭圆C的方程为1，将M代入得1，所以c21，a24，b23，所以椭圆C的方程为1.(2)由题易知，直线l的斜率不为0，设l的方程为xmy1，联立方程消去x得(3m24)y26my90.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，则|AB|.点P(2,0)到直线l的距离为，点Q(2,0)到直线l的距离为，所以四边形APBQ的面积S.令t，t1，则S.设函数f(t)3t(t1)，则f(t)30，所以f(t)在1，)上单调递增，有3t4，故S6，当且仅当t1时取等号所以当t1，即m0时，四边形APBQ面积最大，最大值为6.2(2016高考北京卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值解析：(1)由题意得解得a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设P(x0，y0)，则x4y4.当x00时，直线PA的方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM|.直线PB的方程为yx1.令y0，得xN，从而|AN|2xN|.所以|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.综上，|AN|BM|为定值3已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析：(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3)0，k.24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去，存在满足条件的直线l，其方程为yx.4(2018陕西质检)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2，由M(a，b)，N(a，b)，F2和F1这4个点构成了一个高为，面积为3的等腰梯形(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求F2AB面积的最大值解析：(1)由已知条件，得b，且3，所以ac3.又a2c23，所以a2，c1，所以椭圆的方程为1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去x得，(3m24)y26my90.因为直线过椭圆内的点，所以无论m为何值，直线和椭圆总相交，所以y1y2，y1y2，所以SF2AB|F1F2|y1y2|y1y2|12.又m20，所以9(m21)6递增，所以9(m21)691616，所以SF2AB3，当且仅当m0时取等号，所以SF2AB的最大值为3.B组能力提升练1(2018武汉调研测试)已知直线y2x与抛物线：y22px(p0)交于O和E两点，且|OE|.(1)求抛物线的方程；(2)过点Q(2,0)的直线交抛物线于A，B两点，P为直线x2上一点，PA，PB分别与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积xMxN是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则请说明理由解析：(1)由y22px与y2x，解得交点O(0,0)，E，所以|OE|，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)设直线AB的方程为xty2，代入y24x中，则y24ty80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以设P(2，y0)，则直线PA的方程为yy0(x2)令y0，得(y0y1)xMy0x12y1，同理可得(y0y2)xNy0x22y2，由得，(y0y1)(y0y2)xMxN(y0x12y1)(y0x22y2)，即y(y1y2)y0y1y2xMxNyx1x22y0(y1x2y2x1)4y1y2y2y04y1y2yyyy0y1y24y1y2.由可得(y4ty08)xMxN4(y4ty08)当点P不在直线AB上时，y4ty080，所以xMxN4；当点P在直线AB上时，xMxNxQ2，所以xMxN4.综上，xMxN为定值，且定值为4.2已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y24x的焦点重合(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由解析：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，则e，c1，故a22，b21，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，设BC：xx0，设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，kABkAC，不合题意，故直线BC的斜率存在设直线BC的方程为：ykxm(m1)，并代入椭圆方程，得(12k2)x24kmx2(m21)0，由(4km)28(12k2)(m21)0，解得2k2m210.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，由kABkAC，得4y1y24(y1y2)4x1x2，即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又因为m1，所以m3，此时直线BC的方程为ykx3.所以直线BC恒过一定点(0,3)3(2018石家庄质检)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点(1)若以AF1为直径的动圆内切于圆x2y29，求椭圆长轴的长；(2)当b1时，在x轴上是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，请说明理由解析：(1)设AF1的中点为M，连接AF2，MO.在AF1F2中，由中位线定理得，|OM|AF2|(2a|AF1|)a|AF1|.当两个圆内切时，|OM|3|AF1|，所以a3，故椭圆长轴的长为6.(2)由b1及离心率为，得c2，a3，所以椭圆C的方程为y21.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去y并整理得(9k21)x236k2x72k290.36k2360，x1x2，x1x2，y1y2k2(x12)(x22).假设存在定点T，设T(x0,0)，则x1x2(x1x2)x0xy1y2，当9x36x0719(x9)，即x0时，为定值，定值为x9.当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，当T时，.综上，在x轴上存在定点T，使得为定值.4已知焦距为2的椭圆C：1(ab0)的左焦点为F1，上顶点为D，直线DF1与椭圆C的另一个交点为H，且|DF1|7|F1H|.(1)求椭圆的方程；(2)点A是椭圆C的右顶点，过点B(1,0)且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x3于M，N两点，线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k，求证：kk为定值解析：(1)椭圆C的焦距为2，F1(，0)又D(0，b)，|DF1|7|F1H|，点H的坐标为，则1，解得a24，则b2a231，椭圆C的方程为y21.(2)证明：根据已知可设直线l的方程为yk(x1)由得(4k21)x28k2x4k240.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1x2，x1x2.直线AE，AF的方程分别为：y(x2)，y(x2)令x3，则M，N，P.kk.8
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