（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习 专题能力训练9 三角变换与解三角形

专题能力训练9三角变换与解三角形专题能力训练第24页一、能力突破训练1.若sin =13,则cos 2=()A.89B.79C.-79D.-89答案:B解析:cos2=1-2sin2=1-2132=79.2.(2019全国,理10)已知0,2,2sin 2=cos 2+1,则sin =()A.15B.55C.33D.255答案:B解析:2sin2=cos2+1,4sincos=2cos2.0,2,cos0,sin0,2sin=cos.又sin2+cos2=1,5sin2=1,即sin2=15.sin0,sin=55.故选B.3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或23答案:D解析:由(a2+c2-b2)tanB=3ac,得a2+c2-b22ac=32cosBsinB,即cosB=32cosBsinB,则sinB=32.0B,角B为3或23.故选D.4.在ABC中,ABC=4,AB=2,BC=3,则sinBAC等于()A.1010B.105C.31010D.55答案:C解析:在ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BABCcosABC=(2)2+32-223cos4=5,解得AC=5.由正弦定理BCsinBAC=ACsinABC,得sinBAC=BCsinABCAC=3sin45=3225=31010.5.已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120,a=2b,则tan A=.答案:32解析:由正弦定理可得sinA=2sinB,因为B=180-A-120=60-A,所以sinA=2sin(60-A),即sinA=3cosA-sinA,所以2sinA=3cosA,故tanA=32.6.(2019浙江,14)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.答案:12257210解析:如图所示,设CD=x,DBC=,则AD=5-x,ABD=2-,在BDC中,由正弦定理得3sin4=xsin=32sin=x32.在ABD中,由正弦定理得5-xsin(2-)=4sin34=42cos=5-x42.由sin2+cos2=x218+(5-x)232=1,解得x1=-35(舍去),x2=215BD=1225.在ABD中,由正弦定理得0.8sinABD=4sin(-4)sinABD=210cosABD=7210.7.在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.解:(1)由余弦定理及题设得cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0B,所以B=4.(2)由(1)知A+C=34.2cosA+cosC=2cosA+cos34-A=2cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA=cosA-4.因为0A34,所以当A=4时,2cosA+cosC取得最大值1.8.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=23,且(23+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)求ABC面积的最大值.解:(1)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=23,且(23+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.整理得,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,利用正弦定理得,a2-b2=c2-bc,即cosA=b2+c2-a22bc=12,由于0A0,所以A0,4,于是sinA+sinC=sinA+sin2-2A=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2sinA-142+98.因为0A4,所以0sinA22,因此22-2sinA-142+9898.由此可知sinA+sinC的取值范围是22,98.10.设f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面积的最大值.解:(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kZ);单调递减区间是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=12,由题意知A为锐角,所以cosA=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsinA2+34.所以ABC面积的最大值为2+34.二、思维提升训练11.若02,-20,cos4+=13,cos4-2=33,则cos+2等于()A.33B.-33C.539D.-69答案:C解析:cos4+=13,02,sin4+=223.又cos4-2=33,-20,sin4-2=63,cos+2=cos4+-4-2=cos4+cos4-2+sin4+sin4-2=1333+22363=539.12.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csin A=acos C.当3sin A-cosB+4取最大值时,角A的大小为()A.3B.4C.6D.23答案:A解析:由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC.因为0A0,从而sinC=cosC.又cosC0,所以tanC=1,则C=4,所以B=34-A.于是3sinA-cosB+4=3sinA-cos(-A)=3sinA+cosA=2sinA+6.因为0A34,所以6A+61112,从而当A+6=2,即A=3时,2sinA+6取最大值2.故选A.13.在ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=3,BC=8,BD=7,则ABC的面积为.答案:203或243解析:在CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-28tcos3,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.当t=3时,CA=10,ABC的面积S=12108sin3=203;当t=5时,CA=12,ABC的面积S=12128sin3=243.故ABC的面积为203或243.14.已知sin4+sin4-=16,2,则sin 4的值为.答案:-429解析:因为sin4+=sin2-4-=cos4-,所以sin4+sin4-=sin4-cos4-=12sin2-2=12cos2=16,所以cos2=13.因为2,所以22.所以sin2=-1-132=-223.所以sin4=2sin2cos2=-2229=-429.15.已知锐角三角形ABC的外接圆的半径为1,A=4,则ABC的面积的取值范围为.答案:1,2+12解析:因为锐角三角形ABC的外接圆的半径为1,A=4,所以由正弦定理可得,bsinB=csinC=a22=2,可得b=2sinB,c=2sin34-B,所以SABC=12bcsinA=122sinB2sin34-B22=sinB(cosB+sinB)=22sin2B-4+12,因为B,C为锐角,可得4B2,42B-434,可得sin2B-422,1,所以SABC=22sin2B-4+121,2+12.16.在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3C2,且ba-b=sin2CsinA-sin2C.(1)判断ABC的形状;(2)若|BA+BC|=2,求BABC的取值范围.解:(1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sinB=sin2C,B=2C或B+2C=.若B=2C,3C2,23B(舍去).若B+2C=,又A+B+C=,A=C,ABC为等腰三角形.(2)|BA+BC|=2,a2+c2+2accosB=4.又由(1)知a=c,cosB=2-a2a2.而cosB=-cos2C,12cosB1,1a243.BABC=accosB=a2cosB,且cosB=2-a2a2,a2cosB=2-a223,1.BABC23,1.- 8 -