（名师导学）2020版高考数学总复习 第十一章 坐标系与参数方程 第73讲 坐标系练习 理（含解析）新人教A版选修4-4

第十一章 坐标系与参数方程【p165】第73讲坐标系夯实基础【p165】【学习目标】1了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程【基础检测】1在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线ysin x的伸缩变换是()A.B.C.D.【解析】将曲线y3sin 2x变为曲线ysin x，横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍，将曲线y3sin 2x变为曲线ysin x的伸缩变换是：【答案】B2化极坐标方程2cos 0为直角坐标方程为()Ax2y20或y1 Bx1Cx2y20或x1 Dy1【解析】由题得(cos 1)0，0或cos 1，x2y20或x1.【答案】C3圆r与圆2rsin(r0)的公共弦所在直线的方程为()A2(sin cos )rB2(sin cos )rC.(sin cos )rD.(sin cos )r【解析】圆r的直角坐标方程为：x2y2r2，圆2rsin(r0)的直角坐标方程为x2y2rxry0，圆r与圆2rsin(r0)的公共弦所在直线的方程为xyr，即圆r与圆2rsin(r0)的公共弦所在直线的方程为(sin cos )r.【答案】C4若直线l的极坐标方程为cos3，曲线C：1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为_【解析】直线的直角坐标方程为xy60，曲线C的方程为x2y21，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax131.【答案】315已知曲线C1的极坐标方程为6cos ，曲线C2的极坐标方程为(R)，曲线C1、曲线C2的交点为A，B，则弦AB的长为_【解析】由2x2y2，tan ，将曲线C1与C2的极坐标方程转化为直角坐标方程为C1：x2y26x，即(x3)2y29，故C1为圆心为(3，0)，半径为3的圆，C2：，即yx，表示过原点倾斜角为的直线，由解得或所以|AB|3.【答案】3【知识要点】1平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：_的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴设M是平面上任意一点，表示OM的长度，表示以射线Ox为始边、射线OM为终边所成的角那么，有序数对_(，)_称为点M的极坐标显然，每一个有序实数对(，)决定一个点的位置其中，称为点M的_极径_，称为点M的_极角_由极径的意义可知0，当极角的取值范围是0，2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径0，极角可取任意角3坐标之间的互化点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(，)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：_，_(x0)_通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0，02.4直线的极坐标方程(1)特殊位置的直线的极坐标方程：直线极坐标方程图形过极点，倾斜角为_(R)或_(R)(和(0)过点(a，0)，与极轴垂直_cos_a过点，与极轴平行_sin_a(0)(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，直线l的极坐标方程为：_sin()0sin(0)_5半径为r的圆的极坐标方程(1)特殊位置的圆的极坐标方程：圆心极坐标方程图形(0，0)_r_(02)(r，0)_2rcos_2rsin (0)(r，)2rcos 2rsin (1)(1)请分别写出直线l与曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线l与曲线C交于P，Q两点，设M，且|PQ|2|MP|MQ|，求实数a的值【解析】(1)直线l的极坐标方程为cos3，所以cos sin 3，化为直角坐标方程xy3，即xy60.曲线C的极坐标方程为4acos ，所以24acos ，化为直角坐标方程x2y24ax，即x2y24ax0.(2)因为点M(0，2)在直线l上，所以可取直线l的参数方程为(t为参数)设点P，Q分别对应参数t1，t2，则|MP|t1|，|MQ|t2|，|PQ|t1t2|，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，并化简得t22(1a)t120.因为a1，所以2(1a)241212(1a)240.且t1t22(1a)，t1t212，因为|PQ|2|MP|MQ|，所以|t1t2|2|t1t2|t1t2，所以(t1t2)24t1t2t1t2，即(t1t2)25t1t2，则有(1a)25，得a1或a1.因为a1，所以a1.【点评】(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，注意，的取值范围及其影响；善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；灵活运用代入法和平方法等技巧考点3极坐标方程的应用在平面直角坐标系中，圆C的方程为：x2y22x2y10，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，过极点的直线l过点C.(1)求圆C和直线l的极坐标方程；(2)若直线l绕极点按逆时针方向旋转得l，求l被圆截得的弦长【解析】(1)由x2y22x2y10得圆C的极坐标方程22cos 2sin 10，圆C的圆心C的直角坐标为(，1)，tan ，所以直线l的方程为(R)，(2)由题意可知直线l的方程为(R)，设圆C与l的交点为A，B，得：2210，则|AB|12|4，直线l被圆截得的弦长为4.【点评】(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性方法总结【p167】1点M(，)的极坐标通式是(，2k)或(，2k)(kZ)如果限定0，02或0)，M的极坐标为(1，)(10)，由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.考点集训【p276】A组题1求双曲线C：x21经过：变换后所得曲线C的焦点坐标【解析】设曲线C上任意一点P(x，y)，将代入x21，得1，化简得1，即1为曲线C的方程可见仍是双曲线，则焦点为F1(5，0)，F2(5，0)2已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为，求点A到直线l的距离【解析】依题可知直线l：2sin和点A的直角坐标表示法为l：xy10和A(2，2)，所以点A到直线l的距离为d.3在极坐标系中，已知圆3cos 与直线2cos 4sin a0相切，求实数a的值【解析】圆3cos 的直角坐标方程为x2y23x，即y2，直线2cos 4sin a0的直角坐标方程为2x4ya0.因为圆与直线相切，所以，解得a33.4在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程【解析】在sin中，令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1，0)因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .则22cos ，x2y22x，故圆C的直角坐标方程为(x1)2y21.5在极坐标系中，P是曲线C1：12sin 上的动点，Q是曲线C2：12cos上的动点，求|PQ|的最大值【解析】将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程：12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程：12cos，212，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，|PQ|max6618.6在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin ，0，2)(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：yx5的距离最短，并求出点D的直角坐标【解析】(1)由2sin ，0，2)，可得22sin .因为2x2y2，sin y，所以曲线C的直角坐标方程为x2(y1)21.(2)因为曲线C：x2(y1)21是以C(0，1)为圆心、1为半径的圆，易知曲线C与直线l相离设点D(x0，y0)，且点D到直线l：yx5的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线l：yx5平行即直线CD与l的斜率的乘积等于1，即()1，又x(y01)21，可得x0(舍去)或x0，所以y0，即点D的坐标为.B组题1已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程【解析】(1)由2知24，所以x2y24.因为22cos2，所以222.所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.2在极坐标系中，已知直线l过点A(1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：(1)直线l的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离【解析】(1)如图，由正弦定理得.即sinsin，直线l的极坐标方程为sin.(2)作OHl，垂足为H，在OHA中，OA1，OHA，OAH，则OHOAsin，即极点到该直线的距离等于.3在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin .(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C3的极坐标方程为(0，R)，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|4，求实数的值【解析】(1)由消去参数可得C1的普通方程为(x2)2y24，4sin ，24sin ，由，得曲线C2的直角坐标方程为x2(y2)24.(2)由(1)得曲线C1：(x2)2y24，其极坐标方程为4cos ，由题意设A(1，)，B(2，)，则|AB|12|4|sin cos |44，sin1，k(kZ)，0，.4在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C1的极坐标方程为2，直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值【解析】(1)C1：x22y22，l：yx4.(2)设Q(cos ，sin )，则点Q到直线l的距离d，当且仅当2k，即2k(kZ)时，Q点到直线l距离的最小值为.19