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第四节数列求和课时作业练1.(2018江苏泰州期末)设Sn为等差数列an的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=.答案54解析设等差数列an的首项为a1,公差为d,则S4=4a1+6d=14,S10=10a1+45d,S7=7a1+21d,则S10-S7=3a1+24d=30.由可得d=1,a1=2,故S9=9a1+36d=18+36=54.2.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则该数列的前n项和Sn=.答案2n+1+n2-2解析Sn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+23+2n)+1+3+5+(2n-1)=2(1-2n)1-2+n1+(2n-1)2=2n+1-2+n2=2n+1+n2-2.3.(2018扬州期末检测)若数列1n(n+1)的前n项和为Sn,且SnSn+1=34,则正整数n的值为.答案6解析Sn=1-12+12-13+1n-1n+1=nn+1,则SnSn+1=nn+1n+1n+2=nn+2=34,得n=6.4.(2018江苏南通高三调研)数列an满足an+an+1=12(nN*),a2=2,Sn是数列an的前n项和,则S21=.答案72解析a2=2,a1+a2=12,a1=12-2=-32.an+an+1=12,a2+a3=a4+a5=a6+a7=a20+a21=12,S21=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a20+a21)=-32+1012=72.5.(2018南京、盐城高三第一次模拟)设Sn为等差数列an的前n项和,若an的前2 017项中的奇数项和为2 018,则S2 017的值为.答案4 034解析因为a1+a3+a5+a2 017=1 009a1 009,所以a1 009=2 0181 009=2,所以S2 017=a1+a2+a2 017=2 017a1 009=4 034.6.(2017徐州王杰中学高三月考)设正项等比数列an的首项a1=2,前n项和为Sn,且满足2a3+S2=4,则满足6665S2nSn0,q=12,由题意有66652(1-q2n)1-q2(1-qn)1-q1615,66651+12n0,a1=2,若q1,则当n充分大时,an2,矛盾,舍去;若0q1,则当n充分大时,an0),1an+1an+1=32n(nN*),1a1+1a2=32,1a2+1a3=34,1a11+1q=32,1a1q1+1q=34.a1=1,q=2,an=2n-1.(2)bn=4n-1+(n-1),Sn=(1+0)+(41+1)+(42+2)+4n-1+(n-1)=(1+41+42+4n-1)+0+1+2+(n-1)=4n-13+(n-1)n2=22n+1+3n2-3n-26.11.在等差数列an中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=an(n+1)2,记Tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求Tn.解析(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n.(2)由题意知bn=an(n+1)2=n(n+1),所以Tn=-12+23-34+(-1)nn(n+1).因为bn+1-bn=2(n+1),所以当n为偶数时,Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-bn-1+bn)=4+8+12+2n=n2(4+2n)2=n(n+2)2;当n为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=(n-1)(n+1)2-n(n+1)=-(n+1)22.所以Tn=-(n+1)22,n为奇数,n(n+2)2,n为偶数.12.(2018江苏海安高级中学高三月考)已知数列an中,首项a1=1,a2=a,an+1=k(an+an+2)对任意正整数n都成立,数列an的前n项和为Sn.(1)若k=12,且S18=171,求实数a的值;(2)是否存在实数k,使数列an是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项an,an+1,an+2按某顺序排列后成等差数列?若存在,求出所有的k的值;若不存在,请说明理由;(3)若k=-12,求Sn(用a,n表示).解析(1)当k=12时,由an+1=k(an+an+2)得an+1=12(an+an+2),即an+2-an+1=an+1-an,所以数列an为等差数列,公差为d=a2-a1=a-1,数列an的前n项和为Sn=n+n(n-1)2(a-1),由S18=171得171=18+18(18-1)2(a-1),解得a=2.(2)设数列an为等比数列,则其公比为q=a2a1=a,an=an-1,an+1=an,an+2=an+1.若an+1为等差中项,则2an+1=an+an+2,即2an=an-1+an+1,解得a=1,与已知不符,舍去.若an为等差中项,则2an=an+1+an+2,即2an-1=an+an+1,即a2+a-2=0,解得a=-2或a=1(舍),此时由an+1=k(an+an+2)得an=k(an-1+an+1),即a=k(1+a2),故k=a1+a2=-25.若an+2为等差中项,则2an+2=an+an+1,即2an+1=an-1+an,即2a2-a-1=0,解得a=-12或a=1(舍),仿得k=a1+a2=-25.综上,满足要求的实数k有且仅有一个,k=-25.(3)当k=-12时,an+1=-12(an+an+2),所以an+2+an+1=-(an+1+an),于是an+3+an+2=-(an+2+an+1)=an+1+an.当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(an-1+an)=n2(a1+a2)=n(a+1)2;当n为奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(an-1+an)=a1+n-12(a2+a3)=a1+n-12-(a1+a2)=1-n-12(a+1)(n2),当n=1时,也适合上式,所以Sn=1-n-12(a+1),n为奇数,n(a+1)2,n为偶数.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.(2017江苏,1,5分)已知集合A=1,2,B=a,a2+3.若AB=1,则实数a的值为.答案1解析本题考查元素与集合的关系及集合的交集.B=a,a2+3,AB=1,a=1或a2+3=1,aR,a=1.经检验,满足题意.2.已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的条件.答案充分必要解析因为等差数列an的公差为d,所以(S4+S6)-2S5=4a1+6d+6a1+15d-2(5a1+10d)=d,则“d0”是“S4+S62S5”的充分必要条件.3.(2018江苏南通冲刺小练(40)已知函数y=Asin(x+)A0,0,|2的图象上有一个最高点的坐标为(2,2),由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点(6,0),则此函数的解析式为.答案y=2sin8x+4解析由题意可得A=2,14T=4,T=16=2,=8,sin4+=1,|0),则函数f(x)在(0,+)上为增函数,而f(2)=22+ln 2-10=ln 2-60,所以函数f(x)在(0,+)上有唯一零点x0(2,3),即k=2.5.(2018南京第一学期期末调研)在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b.若|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为3,则线段BD的长度为.答案7解析因为BD=b-a,所以|BD|=(b-a)2=9-22312+4=7.6.若函数f(x)=-x+6,x2,3+logax,x2(a0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是.答案(1,2解析当x2时, f(x)=-x+6, f(x)在(-,2上为减函数,f(x)4,+).当x2时,若a(0,1),则f(x)=3+logax在(2,+)上为减函数, f(x)(-,3+loga2),显然不满足题意,a1,此时f(x)在(2,+)上为增函数, f(x)(3+loga2,+),由题意可知(3+loga2,+)4,+),则3+loga24,即loga21,1b,所以AB,得0B3,又sin B=55,所以cos B=1-sin2B=255.在ABC中,A+B+C=,所以cosC+12=cos-A-B+12=-cosB+4=-cosBcos4-sinBsin4=-25522-5522=-1010.9
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