（名师导学）2020版高考数学总复习 第一章 集合、常用逻辑用语、算法初步及框图 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件练习 文（含解析）新人教A版

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件夯实基础【p4】【学习目标】1理解命题的概念，了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系2理解充分条件、必要条件与充要条件的意义【基础检测】1下列语句中是命题的有()空集是任何集合的真子集3x20.垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？把门关上A1个B2个C3个D4个【解析】是能判断出真假的陈述句，故是命题；不能判断出真假，故不是命题；是疑问句，故不是命题；不能判断出真假，故不是命题故选A.【答案】A2下列命题是真命题的为()A若，则xyB若x21，则x1C若xy，则D若xy，则x2y2【解析】由易得xy；由x21，得x1；若xy0，则与均无意义；若x2，y1，虽然xy2.所以真命题为A.【答案】A3设a0，b0，则“ab”是“ln aln b”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件【解析】因为flnx为增函数，故有ab时，lnalnb，同时，若lnalnb必有ab，故ab是lnalnb的充要条件，故选D.【答案】D4已知条件p：log2a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_【解析】条件p：log2(1x)0，01x1，解得0xa，若p是q的充分不必要条件，a0.则实数a的取值范围是：(，0【答案】【知识要点】1命题概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断_真假_的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类_真_命题、_假_命题2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于_逆否命题_，原命题的否命题等价于_逆命题_在四种形式的命题中真命题的个数只能是_0，2，4_3充要条件若pq，则p是q的_充分_条件，q是p的_必要_条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为Bp是q的_充分不必要_条件pq且q/pA是B的_真子集_p是q的_必要不充分_条件p/q且qpB是A的_真子集_p是q的_充要_条件pq_AB_p是q的_既不充分也不必要_条件p/q且q/pA，B互不_包含_集合与充要条件典例剖析【p5】考点1四种命题及其相互关系(1)命题“若a2b2，则ab”的否命题是()A若a2b2，则abB若a2b2，则abC若ab，则a2b2D若ab，则a2b2【解析】根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”该题中，p为a2b2，q为ab，故綈p为a2b2，綈q为ab.所以原命题的否命题为：若a2b2，则ab.【答案】B(2)命题“若x23x40，则x4”的逆否命题及其真假性为()A“若x4，则x23x40”为真命题B“若x4，则x23x40”为真命题C“若x4，则x23x40”为假命题D“若x4，则x23x40”为假命题【解析】根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x23x40，所以x4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题【答案】C(3)有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题；“全等三角形的面积相等”的否命题为真命题；“若q1，则x22xq0有实根”的逆否命题为真命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为真命题其中正确的是()ABCD【解析】“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，其为真命题，正确；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，显然是假命题，错误；对于，若q1，则44q0，即44q0，所以x22xq0有实根又原命题与逆否命题同真假，故正确；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形为不等边三角形”，显然是假命题，错误，选C.【答案】C【小结】1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提2命题真假的2种判断方法：(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断考点2充分、必要条件的判断与证明(1)已知命题p：实数x，y满足x1且y1，命题q：实数x，y满足xy2，则p是q的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【解析】由实数x，y满足x1且y1，显然可得xy2，即充分性成立，但xy2，则得不到x1且y1，例如x取0，y取3，故必要性不成立，故选B.【答案】B(2)在ABC中，“sinAsinBcosBcosA”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】当AB时，sinAsinBcosBcosA，所以必要性成立；当AB时，sinAsinBcosBcosA，所以充分性不成立，选B.【答案】B(3)对任意实数a，b，c，给出下列命题：“ab”是“acbc”的充要条件；“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“ab”是“a2b2”的充分条件；“a5”是“a3(xm)，集合Sx|x23x43(xm)x|(xm)(xm3)0x|xm3，Sx|x23x40x|(x4)(x1)0x|4x1，xP是xS的必要不充分条件，即等价于SP.所以m34或m1，解得m7或m1.即m的取值范围为(，71，)【小结】根据充要条件求参数的值或取值范围的关键：(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围(2)若綈p是綈q的必要不充分条件转化为等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件【能力提升】求关于x的方程ax2(a2a1)xa10至少有一个正根的充要条件【解析】法一：若a0，则方程变为x10，x1满足条件；若a0，(a2a1)24a(a1)，则方程至少有一个正根等价于或或解得1a0.综上，方程至少有一正根的充要条件是a1.法二：若a0，则方程即为x10，x1满足条件；若a0，(a2a1)24a(a1)(a2a)22(a2a)14a(a1)(a2a)22a(a1)1(a2a1)20，方程一定有两个实根故而当方程没有正根时，应有解得a1，方程至少有一正根时应满足a1且a0，综上，方程有一正根的充要条件是a1.方法总结【p6】1充要条件的判定(1)定义法(2)集合法：小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件(3)等价法“直接正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断2对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形(换)得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性走进高考【p6】1(2018天津)设xR，则“x38”是“|x|2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】由x38可得x2，由|x|2可得x2或x8”是“|x|2”的充分而不必要条件故选A.【答案】A2(2018浙江)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】若m，n，mn，由线面平行的判定定理知m.若m，m，n，不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件故选A.【答案】A- 6 -