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思想方法训练2分类讨论思想思想方法训练第4页一、能力突破训练1.已知函数f(x)=-x2+ax,x1,2ax-5,x1,若存在x1,x2R,且x1x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.(-,2)B.(-,4)C.2,4D.(2,+)答案:B解析:当-a-21时,显然满足条件,即a2a-5,即2a4.综上知,a0,且a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.pqD.当a1时,pq;当0a1时,pq答案:C解析:当0a1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为减函数,a3+1loga(a2+1),即pq.当a1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,a3+1a2+1,loga(a3+1)loga(a2+1),即pq.综上可得,pq.4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=34x,则该双曲线的离心率为()A.54B.53C.54或53D.35或45答案:C解析:当焦点在x轴上时,ba=34,此时离心率e=ca=54;当焦点在y轴上时,ab=34,此时离心率e=ca=53,故选C.5.已知A,B为平面内的两个定点,过该平面内的动点M作直线AB的垂线,垂足为N,MN2=ANNB,其中为常数,则动点M的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线答案:C解析:不妨设|AB|=2,以AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),MN=(0,-y),AN=(x+1,0),NB=(1-x,0).代入已知式子得x2+y2=,当=1时,曲线为圆;当=2时,曲线为椭圆;当0,且x1,则函数y=lg x+logx10的值域为()A.RB.2,+)C.(-,-2D.(-,-22,+)答案:D解析:当x1时,y=lgx+logx10=lgx+1lgx2lgx1lgx=2;当0x0,且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大a2,则a的值是.答案:12或32解析:当a1时,y=ax在区间1,2上单调递增,故a2-a=a2,得a=32;当0a1时,y=ax在区间1,2上单调递减,故a-a2=a2,得a=12.故a=12或a=32.10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=0,01,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.答案:4解析:f(x)=-lnx,01,g(x)=0,0x1,2-x2,1x2,x2-6,x2.当0x1时,方程化为|-lnx+0|=1,解得x=1e或x=e(舍去).所以此时方程只有1个实根1e.当1x2时,方程可化为|lnx+2-x2|=1.设h(x)=lnx+2-x2,则h(x)=1x-2x=1-2x2x.因为1x2,所以h(x)=1-2x2x0,即函数h(x)在区间(1,2)内单调递减.因为h(1)=ln1+2-12=1,h(2)=ln2+2-22=ln2-2,所以h(x)(ln2-2,1).又ln2-2-1,故当1x2时方程只有1解.当x2时,方程可化为|lnx+x2-6|=1.记函数p(x)=lnx+x2-6,显然p(x)在区间2,+)内单调递增.故p(x)p(2)=ln2+22-6=ln2-21,所以方程|p(x)|=1有两个解,即方程|lnx+x2-6|=1有两个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.11.已知函数f(x)=2asin2x-23asin xcos x+a+b(a0)的定义域为0,2,值域为-5,1,求常数a,b的值.解:f(x)=a(1-cos2x)-3asin2x+a+b=-2asin2x+6+2a+b.x0,2,2x+66,76,-12sin2x+61.因此,由f(x)的值域为-5,1,可得a0,-2a-12+2a+b=1,-2a1+2a+b=-5或a0,函数f(x)=12x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)由题意知x0,f(x)=x-(a+1)+ax.因为曲线y=f(x)在点(2,f(2)处切线的斜率为1,所以f(2)=1,即2-(a+1)+a2=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为x-y-2=0.(2)f(x)=x-(a+1)+ax=x2-(a+1)x+ax=(x-1)(x-a)x.当0a0,函数f(x)单调递增;若x(a,1),则f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-12a2+alna,极小值是f(1)=-12.当a=1时,若x(0,1),则f(x)0,若x=1,则f(x)=0,若x(1,+),则f(x)0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.当a1时,若x(0,1),则f(x)0,函数f(x)单调递增;若x(1,a),则f(x)0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-12,极小值是f(a)=-12a2+alna.综上,当0a1时,f(x)的极大值是-12,极小值是-12a2+alna.二、思维提升训练13.若直线l过点P-3,-32且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-32C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=0答案:D解析:若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件.若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+32=k(x+3),即kx-y+3k-32=0.因为直线l被圆截得的弦长为8,所以半弦长为4.又圆的半径为5,所以圆心(0,0)到直线l的距离为52-42=3k-32k2+1,解得k=-34,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.14.(2019浙江,9)设a,bR,函数f(x)=x,x0,13x3-12(a+1)x2+ax,x0.若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则()A.a-1,b0B.a0C.a-1,b-1,b0答案:C解析:当x0时,由x=ax+b,得x=b1-a,最多一个零点取决于x=b1-a与0的大小,所以关键研究当x0时,方程13x3-12(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=13x3-12(a+1)x2=13x2x-32(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系.若32(a+1)0,即a0,即a-1时,x=0处为偶重零点,x=32(a+1)为奇重零点,当b0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=b1-a0,故-1a1,b0,选C.15.已知a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a=时,g(a)的值最小.答案:22-2解析:当a0时,在区间0,1上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间0,1上单调递增,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0a1时,f(x)=-x2+ax,0xa,x2-ax,ax1在区间0,a2内单调递增,在区间a2,a上单调递减,在区间(a,1上单调递增,且fa2=a24,f(1)=1-a.a24-(1-a)=14(a2+4a-4),当0a22-2时,a241-a.当22-2a1时,a241-a;当1a2时,f(x)=-x2+ax在区间0,a2内单调递增,在区间a2,1内单调递减,当x=a2时,f(x)取得最大值fa2=a24;当a2时,f(x)=-x2+ax在区间0,1上单调递增,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.则g(a)=1-a,a22-2,a24,22-2a2,a-1,a2在区间(-,22-2)内单调递减,在区间22-2,+)内单调递增,即当a=22-2时,g(a)有最小值.16.已知函数f(x)=aln x+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间1,e上的最小值及相应的x值;(2)若存在x1,e,使得f(x)(a+2)x成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=alnx+x2的定义域为(0,+),f(x)=ax+2x=2x2+ax.当x1,e时,2x22,2e2.若a-2,则f(x)在区间1,e上非负(仅当a=-2,x=1时,f(x)=0),故f(x)在区间1,e上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2a-2,令f(x)0,解得1x0,解得-a2xe,此时f(x)单调递增,所以f(x)min=f-a2=a2ln-a2-a2;若a-2e2,f(x)在区间1,e上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f(x)=0),故f(x)在区间1,e上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2a-2时,f(x)min=a2ln-a2-a2,相应的x=-a2;当a-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)(a+2)x可化为a(x-lnx)x2-2x.由x1,e,知lnx1x且等号不能同时成立,得lnx0,因而ax2-2xx-lnx,x1,e.令g(x)=x2-2xx-lnx(x1,e),则g(x)=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2,当x1,e时,x-10,lnx1,x+2-2lnx0,从而g(x)0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在区间1,e上单调递增,故g(x)min=g(1)=-1,所以实数a的取值范围是-1,+).17.设函数f(x)=cos 2x+(-1)(cos x+1),其中0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f(x);(2)求A.解:(1)f(x)=-2sin2x-(-1)sinx.(2)当1时,|f(x)|=|cos2x+(-1)(cosx+1)|+2(-1)=3-2=f(0).因此A=3-2.当01时,将f(x)变形为f(x)=2cos2x+(-1)cosx-1.令g(t)=2t2+(-1)t-1,则A是|g(t)|在-1,1上的最大值,g(-1)=,g(1)=3-2,且当t=1-4时,g(t)取得极小值,极小值为g1-4=-(-1)28-1=-2+6+18.令-11-415.当015时,g(t)在区间(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=,|g(1)|=2-3,|g(-1)|g(1)|,所以A=2-3.当150,知g(-1)g(1)g1-4.又g1-4-|g(-1)|=(1-)(1+7)80,所以A=g1-4=2+6+18.综上,A=2-3,015,2+6+18,151,3-2,1.11
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