（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习 专题能力训练4 基本初等函数、函数的图象与性质

专题能力训练4基本初等函数、函数的图象与性质专题能力训练第14页一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=xsin xC.f(x)=1xD.f(x)=x12答案:A解析:函数f(x)=-x2,x0,x2,xb,则()A.ln(a-b)0B.3a0D.|a|b|答案:C解析:取a=2,b=1,满足ab.但ln(a-b)=0,排除A;3a=9,3b=3,3a3b,排除B;y=x3是增函数,ab,a3b3,故C正确;取a=1,b=-2,满足ab,但|a|0,排除A,B;当x=12时,y=-124+122+22.排除C.故选D.4.(2019吉林长春质监(四)已知f(x)=sin x+1sinx+ax2,若f2=2+,则f-2=()A.2-B.-2C.2D.答案:B解析:因为f(x)=sinx+1sinx+ax2,f2=2+,所以f2=1+1+2a4=2+,因此2a4=,故a=4;所以f-2=-1-1+424=-2+.故选B.5.已知函数f(x)=2x-1-2,x1,-log2(x+1),x1,且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-74B.-54C.-34D.-14答案:A解析:f(a)=-3,当a1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74.6.已知f(x)是定义域为(-,+)内的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案:C解析:f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为R上的奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.已知ab1,若logab+logba=52,ab=ba,则a=,b=.答案:42解析:设logba=t,由ab1,知t1.由题意,得t+1t=52,解得t=2,则a=b2.由ab=ba,得b2b=bb2,即得2b=b2,即b=2,故a=4.8.若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:f(x)是偶函数,f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=lna+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-lna=ln(a+1+1),于是lna=0,a=1.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)2f(1),则a的取值范围是.答案:12,2解析:由题意知a0,又log12a=log2a-1=-log2a.f(x)是R上的偶函数,f(log2a)=f(-log2a)=f(log12a).f(log2a)+f(log12a)2f(1),2f(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1).又f(x)在区间0,+)内单调递增,|log2a|1,-1log2a1,a12,2.10.设奇函数y=f(x)(xR),满足对任意tR都有f(t)=f(1-t),且当x0,12时,f(x)=-x2,则f(3)+f-32的值等于.答案:-14解析:根据对任意tR都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-f(t)=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f-32=f12=-14,所以f(3)+f-32=0+-14=-14.11.设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.答案:2解析:f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),故g(x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,则M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.12.若不等式3x2-logax0在x0,13内恒成立,求实数a的取值范围.解:由题意知3x21,则函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;当0a1时,由图可知,y=logax的图象必须过点13,13或在这个点的上方,则loga1313,所以a127,所以127a1.综上,实数a的取值范围为127a0,cos6x0,则此时y0,故选D.14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=ax+log5x,x4,x2+2x+3,0x4,若f(-5)f(2),则a的取值范围为()A.(-,1)B.(-,2)C.(-2,+)D.(2,+)答案:B解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-5)=f(5)=5a+log55=1+5a,则不等式f(-5)f(2)可化为f(5)f(2).又f(2)=4+4+3=11,所以由5a+111可得a0,-x2-2x+1,x0,若f(f(a)=4,则a=.答案:1或-1解析:令m=f(a),则f(m)=4,当m0时,由2m=4,解得m=2;当m0时,-m2-2m+1=3,无解,故f(a)=2.当a0时,由2a=2,解得a=1;当a0时,由-a2-2a+1=2,解得a=-1.综上可知,a=1或a=-1.故答案为1或-1.17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1上,f(x)=ax+1,-1x0,g(x)在R上单调递增,具有M性质;对,设g(x)=ex3-x,则g(x)=ex3-x+3-xln13=ex3-x1+ln130,g(x)0,g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填.19.已知函数f(x)=ex-e-x(xR,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.解:(1)f(x)=ex-1ex,且y=ex是增函数,y=-1ex是增函数,f(x)是增函数.f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.f(x-t)+f(x2-t2)0对xR恒成立,f(x-t)f(t2-x2),t2-x2x-t,x2+xt2+t对xR恒成立.又t+122x+122对一切xR恒成立,t+1220,t=-12.即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立.8