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专题探究2平面向量的综合应用1.2018株州模拟 在ABC中,(BC+BA)AC=|AC|2,则ABC的形状一定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2.2018揭阳模拟 已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足PAPB=x2,则点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线3.ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且(AB+AC)BC=0,则ABC的形状为()A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.已知O是坐标原点,点A(-2,1),若点M(x,y)为平面区域x+y2,x1,y2内的一个动点,则OAOM的取值范围是()A.-1,0B.-1,2C.0,1D.0,25.在菱形ABCD中,若AC=4,则CAAB=.6.2018成都龙泉一中、新都一中等九校联考 已知向量m=(1,cos),n=(sin,-2),且mn,则sin2+6cos2的值为()A.12B.2C.22D.-27.在ABC中,D为ABC所在平面内一点,且AD=13AB+12AC,则SBCDSABD等于()A.16B.13C.12D.238.2018台州实验中学模拟 已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y28=1的左、右焦点,点E是椭圆C上的动点,则EF1EF2的最大值、最小值分别为()A.9,7B.8,7C.9,8D.17,89.2018安徽师大附中模拟 已知函数f(x)=3sinx(0)的部分图像如图Z2-1所示,A,B分别是图像上的最高点、最低点,O为坐标原点,若OAOB=0,则函数f(x+1)是()图Z2-1A.周期为4的奇函数B.周期为4的偶函数C.周期为2的奇函数D.周期为2的偶函数10.2018资阳4月模拟 如图Z2-2所示,在直角梯形ABCD中,ABAD,ABDC,AB=2,AD=DC=1,图中圆弧所在圆的圆心为点C,半径为12,且点P在图中阴影部分(包括边界)内运动.若AP=xAB+yBC,其中x,yR,则4x-y的取值范围是()图Z2-2A.2,3+324B.2,3+52C.3-24,3+52D.3-172,3+17211.2018山西四大名校联考 设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=.12.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(2cos,2sin),实数m,n满足ma+nb=c,则(m-1)2+(n-1)2的最小值为.13.已知点P(0,-3),点A在x轴上,点Q在y轴的正半轴上,点M满足PAAM=0,AM=-32MQ,当点A在x轴上移动时,求动点M的轨迹方程.14.2018酒泉质检 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c)BABC=cCBCA.(1)求角B的大小;(2)若|BA-BC|=6,求ABC的面积的最大值.15.2018大庆一模 已知共面向量a,b,c满足|a|=3,b+c=2a,且|b|=|b-c|.若对每一个确定的向量b,记|b-ta|(tR)的最小值为dmin,则当b变化时,dmin的最大值为()A.43B.2C.4D.616.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,正三角形ABC内接于圆O:x2+y2=4,直线l:x-ky=0交边AB于点P,交边AC于点Q,且PQBC,则BQCP的值为.专题集训(二)1.C解析 由(BC+BA)AC=|AC|2,得AC(BC+BA-AC)=0,即AC(BC+BA+CA)=0,2ACBA=0,ACBA,A=90.又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|,故ABC一定是直角三角形.2.D解析PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y),PAPB=(-2-x)(3-x)+y2=x2,y2=x+6,即点P的轨迹是抛物线.3.B解析 由内角A,B,C成等差数列,得B=60,由(AB+AC)BC=0,可得ABC为等腰三角形.综上可得,ABC为等边三角形.4.B解析OAOM=-2x+y,画出不等式组x+y2,x1,y2表示的平面区域如图中阴影部分所示.平移直线y=2x易知,当点M的坐标为(1,1)时,OAOM取得最小值-1,当点M的坐标为(0,2)时,OAOM取得最大值2.故选B.5.-8解析 设CAB=,AB=BC=a,由余弦定理得a2=16+a2-8acos,acos=2,CAAB=4acos(-)=-4acos=-8.6.B解析 由题意可得mn=sin-2cos=0,cos0,则tan=2,所以sin2+6cos2=2sincos+6cos2sin2+cos2=2tan+6tan2+1=2.故选B.7.B解析 如图,由已知构造AFDE,可得点D在ABC中与AB平行的中位线上,且在靠近BC边的三等分点处,从而有SABD=12SABC,SACD=13SABC,SBCD=1-12-13SABC=16SABC,所以SBCDSABD=13.8.B解析 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0),设E(x,y)(-3x3),则EF1=(-1-x,-y),EF2=(1-x,-y),所以EF1EF2=x2-1+y2=x2-1+8-89x2=x29+7.当x=0时,EF1EF2有最小值7,当x=3时,EF1EF2有最大值8,故选B.9.B解析 由题图可得A2,3,B32,-3,由OAOB=0得3242-3=0,又0,所以=2,所以f(x)=3sin2x,所以f(x+1)=3sin2(x+1)=3cos2x,它是周期为4的偶函数.故选B.10.B解析 以A点为坐标原点,AD,AB的方向为y轴、x轴正方向建立平面直角坐标系(图略),设点P的坐标为(m,n),A(0,0),B(2,0),C(1,1).由题意可知AP=x(2,0)+y(-1,1),据此可得m=2x-y,n=y,则x=m+n2,y=n.设z=4x-y,则z=2m+n,其中z为直线n=-2m+z的纵截距,当直线与圆相切时,目标函数z取得最大值3+52,当直线过点12,1时,目标函数z取得最小值2,则4x-y的取值范围是2,3+52.11.6解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F(1,0),所以FA+FB+FC=(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=0,得x1+x2+x3=3.由抛物线定义可得|FA|+|FB|+|FC|=(x1+1)+(x2+1)+(x3+1)=6.12.3-22解析 因为ma+nb=c,所以m(1,1)+n(1,-1)=(2cos,2sin),所以m+n=2cos,m-n=2sin,则(m+n)2+(m-n)2=2,即m2+n2=1,所以点P(m,n)在以原点O为圆心,1为半径的圆上,(m-1)2+(n-1)2是圆上的点P到点M(1,1)的距离的平方,由圆的性质知(m-1)2+(n-1)2的最小值是(2-1)2=3-22.13.解:设M(x,y)为所求轨迹上任一点,设A(a,0),Q(0,b)(b0),则PA=(a,3),AM=(x-a,y),MQ=(-x,b-y),由PAAM=0,得a(x-a)+3y=0.由AM=-32MQ,得(x-a,y)=-32(-x,b-y)=32x,32y-32b,x-a=32x,y=32y-32b,a=-x2,b=y3.b0,y0,把a=-x2代入中,得-x2x+x2+3y=0,整理得y=14x2(x0).动点M的轨迹方程为y=14x2(x0).14.解:(1)由题意得(2a-c)cosB=bcosC.根据正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sin(C+B),即2sinAcosB=sinA.因为A(0,),所以sinA0,所以cosB=22,又B(0,),所以B=4.(2)因为|BA-BC|=6,所以|CA|=6,即b=6,根据余弦定理及基本不等式,得6=a2+c2-2ac2ac-2ac=(2-2)ac(当且仅当a=c时取等号),即ac3(2+2),故ABC的面积S=12acsinB32+32,即ABC的面积的最大值为32+32.15.B解析 固定向量a=(3,0),则向量b,c分别在以(3,0)为圆心,r为半径的圆上的直径两端运动,其中,OA=a,OB=b,OC=c,如图,易得点B(rcos+3,rsin).因为|b|=|b-c|,所以OB=BC,即(rcos+3)2+r2sin2=4r2,整理为r2-2rcos-3=0,可得cos=r2-32r.令OH=ta,则HB=b-ta,当BHOA时,|b-ta|取得最小值,所以dmin=rsin=-r4+10r2-94=4-(r2-5)242,所以dmin的最大值是2,故选B.16.-223解析(1)因为圆心O为正三角形ABC的中心,所以ABC的边长为23,由于直线l:x-ky=0交边AB于点P,交边AC于点Q,且PQBC,因此由三角形重心的性质可得,AP=23AB,AQ=23AC,BQCP=(BA+AQ)(CA+AP)=BA+23ACCA+23AB=BACA+49ACAB+23ACCA+23ABBA=6+83-8-8=-223.6
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