（名师导学）2020版高考数学总复习 第三章 导数及其应用 第15讲 导数的概念及运算练习 理（含解析）新人教A版

第三章导数及其应用【p33】第15讲导数的概念及运算夯实基础【p33】【学习目标】1了解导数概念的实际背景2理解导数的意义及几何意义3能根据导数定义求函数yC(C为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数4能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导【基础检测】1个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是()A6米/秒B7米/秒C8米/秒D9米/秒【解析】物体的运动方程为s1tt2，s12t，s|t59.【答案】D2已知函数f(x)sin xx，则f(0)()A0 B1 C1 D2【解析】由函数的解析式可得：f(x)cos x1，则f(0)cos 01110.【答案】A3已知曲线f(x)x22x上一点A(2，8)，则lim()A3 B3 C6 D6【解析】由题得f(x)2x2, f(2)6，limlim63.【答案】B4曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_【解析】ye5x2的导数y5e5x，则在x0处的切线斜率为5e05，切点为(0，3)，则在x0处的切线方程为：y5x3，即为5xy30.【答案】5xy305若函数f(x)f(1)ex1f(0)xx2，则f(1)_【解析】f(x)f(1)ex1f(0)2x，则f(1)f(1)f(0)2，所以f(0)2，故f(x)f(1)ex12xx2，则有f(0)f(1)e1，解得f(1)2e.【答案】2e【知识要点】1平均变化率及瞬时变化率(1)函数yf(x)从x1到x2的平均变化率用_表示，且.(2)函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是：.2导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数就是函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)是一个确定的数，当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)为f(x)的导函数(简称导数)，即f(x).3导数的几何意义和物理意义几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)上_点(x0，f(x0)处切线_的斜率k，即k_f(x0)_；切线方程为_yf(x0)f(x0)(xx0)_物理意义：若物体位移随时间变化的关系为sf(t)，则f(t0)是物体运动在tt0时刻的_瞬时速度_4基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数(C)_0_(C为常数); (x)_1_；(x2)_2x_；_；()_(2)初等函数的导数公式(xn)_nxn1_；(sin x)_cos_x_；(cos x)_sin_x_；(ex)_ex_；(ax)_axln_a_；(ln x)_；(logax)_5导数的运算法则(1)f(x)g(x)_f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_f(x)g(x)f(x)g(x)_；(3)_(g(x)0)_6复合函数的导数(1)对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数yf(u)和ug(x)的复合函数为yf(g(x)(2)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为_yxyuux_，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积典例剖析【p34】考点1导数的运算法则及应用求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y.【解析】(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(4)y.【点评】求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量考点2复合函数的导数求下列函数的导数：(1)y(2x1)5；(2)y；(3)ysin2；(4)yxsincos；(5)yx.【解析】(1)设u2x1，则yu5，yyuux(u5)u(2x1)x5u425(2x1)4210(2x1)4.(2)设u13x，则yu4，yxyuux(u4)u(13x)x4u5(3)12u5.(3)y2sin2sincos2sincos22sin.(4)yxsincosxsin(4x)xsin 4x，ysin 4xx4cos 4xsin 4x2xcos 4x.(5)y(x)xx().【点评】求复合函数的导数，关键在于分析函数的复合关系，适当确定中间变量，然后“由外及内”逐层求导考点3导数运算的应用(1)若函数f(x)在R上可导，且f(x)x22f(1)x3，则()Af(0)f(4) D以上都不对【解析】函数的导数f(x)2x2f(1)，令x1，得f(1)22f(1)，即f(1)2，故f(x)x24x3(x2)21，函数的对称轴为x2，则f(0)f(4)【答案】B(2)已知f(x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有f(x)ex(2x2)f(x)，f(0)1，则()Af(x)ex(x1) Bf(x)ex(x1)Cf(x)ex(x1)2 Df(x)ex(x1)2【解析】令G(x)，则G(x)2x2，可设G(x)x22xc，G(0)f(0)1.c1.f(x)(x22x1)exex(x1)2.【答案】D(3)在直角坐标系xOy中，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的()【解析】函数的定义域为0，)，当x0，2时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越大，即斜率f(x)在0，2内大于0且越来越大，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x(2，3)时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越小，即斜率f(x)在(2，3)内大于0且越来越小，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量S为0，即斜率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线【答案】D【点评】函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢考点4导数的几何意义(1)函数f(x)ln xx2bxa (b0，aR)的图象在点(b，f(b)处的切线斜率的最小值是()A2 B. C1 D2【解析】f(x)2xb，kf(b)b22，当且仅当b1时取等号，因此切线斜率的最小值是2.【答案】D(2)设函数f(x)2x3(a3)xsin xax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()Ayx By2xCy4x Dy3x【解析】函数f(x)2x3(a3)xsin xax为奇函数，f(x)f(x)，即2(x)3(a3)(x)sin(x)a(x)2x3(a3)xsin xax.a30，即a3.f(x)2x33x，则f(x)6x23.曲线yf(x)在点(0，0)处的切线的斜率为f(0)3.f(0)0，曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为y3x.【答案】D(3)过点(e，e)作曲线yexx的切线，则切线方程为()Ay(1e)xe2By(e1)xe2Cy(ee11)xee2Dy(ee1)xee1【解析】由yexx，得yex1，设切点为(x0，ex0x0)，则y|xx0ex01，切线方程为yex0x0(ex01)(xx0)，切线过点(e，e)，ex0ex0(ex0)，解得：x0e1.切线方程为yee1e1(ee11)(xe1)，整理得：y(ee11)xee2.【答案】C(4)设对函数f(x)exx图象上任意一点处的切线为l1，若总存在函数g(x)ax2cos x图象上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围是()A1，2 B(1，2) C2，1 D(2，1)【解析】f(x)exx，则f(x)ex1，ex11，ex10.若对于任意xR，f(x)0，则实数a的取值范围是_【解析】由题可知，f(x)，令g(x)ax22ax1，则g(x)与f(x)符号相同，对于任意xR，f(x)0，对于任意xR，g(x)0恒成立，又a0，根据二次函数的图象与性质，得(2a)24a0，解得0a1，实数a的取值范围是(0，1【答案】(0，18已知函数f(x)ln x.(1)当函数f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线4yx10垂直时，求实数m的值；(2)若x1时，f(x)1恒成立，求实数m的取值范围【解析】(1)f(x)，函数f(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率kf(1)1m，函数f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线4yx10垂直，又因为直线4yx10的斜率为.(1m)1，1m4，m5.(2)依题意可得不等式ln x1在x1时恒成立，即mxxln x在x1时恒成立设g(x)xxln x(x1)则g(x)1ln x1ln x0，所以函数g(x)在1，)上为减函数，g(x)g(1)11ln 11.m1.B组题1已知直线l：xty20(t0)与函数f(x)(x0)的图象相切，则切点的横坐标为()A2 B22 C2 D1【解析】由f(x)(x0)可得f(x)，设切点坐标为(m，n)(m0)，则解得m2.【答案】A2已知函数f(x)及其导数f(x)，若存在x0，使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是_f(x)x2；f(x)ex；f(x)ln x；f(x)tan x；f(x).【解析】f(x)2x，x22x得x0或x2，有“巧值点”；f(x)ex，exex无解，无“巧值点”；f(x)，方程ln x有解，有“巧值点”；f(x)，方程tan x无解，无“巧值点”；，方程f(x)，方程有解，x1，有“巧值点”【答案】3已知函数f(x)，x(0，)的导函数为f，且满足xf2fx3ex，f(1)e1，则f(x)在处的切线方程为_【解析】xf2fx3ex，ex.令g，则gex，gexc(c为常数)，fx2，又fece1，c1.fx2，f2xx2exex2x，f8e24.又f4，所求切线方程为y4，即yx12e24.【答案】yx12e244设函数f(x)xln xax2(b1)x，g(x)exex(e为自然对数的底数)(1)求g(x)在(1，0)处的切线方程；(2)当b0时，函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围；(3)若yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，且函数h(x)f(x)g(x)在x(1，)时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a的取值范围【解析】(1)由题得g(x)exe，kg(1)ee0，所以切线方程为y0.(2)当b0时，f(x)xln xax2x，f(x)ln x2ax，所以f(x)xln xax2x有两个极值点就是方程ln x2ax0有两个解，即y2a与m(x)的图象的交点有两个m(x)，当x(0，e)时，m(x)0，m(x)单调递增；当x(e，)时，m(x)1时，h(x)f(x)g(x)0恒成立，即ln xex2ax2ae0，令t(x)ln xex2ax2ae，t(x)ex2a，设(x)ex2a，(x)ex，因为x1，所以exe，1，(x)0，(x)在(1，)单调递增，即t(x)在(1，)单调递增，t(x)t(1)1e2a，当a且a1时，t(x)0，所以t(x)ln xex2ax2ae在(1，)单调递增，t(x)t(1)0成立；当a时，因为t(x)在(1，)单调递增，所以t(1)1e2a0，所以存在x0(1，ln 2a)有t(x0)0，当x(1，x0)时，t(x)0，t(x)单调递减，所以有t(x0)0不恒成立；所以实数a的取值范围是(，1).19