2019高考数学三轮冲刺 大题提分 大题精做10 圆锥曲线：定点、定值问题 理

大题精做10 圆锥曲线：定点、定值问题2019甘肃联考已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且与圆相切试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可知，则，直线的方程为，即，所以，解得，又，所以椭圆的标准方程为（2）因为直线与圆相切，所以，即设，联立，得，所以，所以又，所以因为，同理所以，所以的周长是，则的周长为定值12019安庆期末已知椭圆过点，焦距长，过点的直线交椭圆于，两点（1）求椭圆的方程；（2）已知点，求证：为定值22019东莞期末已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，分别与椭圆交于点，（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标32019漳州一模已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率存在的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值1【答案】（1）；（2）【解析】（1）由条件焦距为，知，从而将代入方程，可得，故椭圆方程为（2）当直线的斜率不为0时，设直线交椭圆于，由，可得，化简得，当直线斜率为0时，即证为定值，且为2【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）设椭圆的标准方程为，所以椭圆的标准方程为（2）直线斜率存在，设直线，联立方程，消去得，又，由，得，即，解得，且均满足，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，直线过定点由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，易得直线，直线，分别与椭圆交于点，此时直线斜率不存在，也过定点，综上所述，直线恒过定点3【答案】（1）；（2）详见解析【解析】解法一：（1）设椭圆的标准方程为，由抛物线的焦点为，得， 又，由及，解得，所以椭圆的标准方程为（2）依题意设直线的方程为，设点，当时，联立方程，得，所以，的中点坐标为，的垂直平分线为，令，得，又，所以，当时，点与原点重合，则，所以；综上所述，为定值解法二：（1）同解法一（2）依题意，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设点，联立方程，得，所以，所以的中点坐标为，的垂直平分线为，令，得，所以，所以；当直线的斜率为0时，点与原点重合，则，所以；综上所述，为定值8