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专题19 三角函数的图像与性质一、【知识精讲】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxxk值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无 微点提醒1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kZ)内为增函数.二、【典例精练】考点一三角函数的定义域、值域(最值)【例1】 (1)函数ylg(sin x)的定义域为_.(2(2016全国卷)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】(1)(2)B【解析】(1)函数有意义，则即解得所以2k0，故a，因为f(x)cos在a，a是减函数，所以解得00).若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_.【答案】【解析】由于对任意的实数都有f(x)f成立，故当x时，函数f(x)有最大值，故f1，2k(kZ)，8k(kZ).又0，min.【解法小结】1.若f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ).2.函数yAsin(x)与yAcos(x)的最小正周期T，yAtan(x)的最小正周期T.角度2三角函数图象的对称性【例32】 (1)已知函数f(x)asin xcos x(a为常数，xR)的图象关于直线x对称，则函数g(x)sin xacos x的图象()A.关于点对称 B.关于点对称C.关于直线x对称 D.关于直线x对称(2)(2016全国卷)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5【答案】(1)C(2)B【解析】(1)因为函数f(x)asin xcos x(a为常数，xR)的图象关于直线x对称，所以f(0)f，所以1a，a，所以g(x)sin xcos xsin，函数g(x)的对称轴方程为xk(kZ)，即xk(kZ)，当k0时，对称轴为直线x，所以g(x)sin xacos x的图象关于直线x对称.(2)因为x为f(x)的零点，x为f(x)的图象的对称轴，所以，即T(kZ)，所以2k1(kZ).又因为f(x)在上单调，所以，即12，11验证不成立(此时求得f(x)sin在上单调递增，在上单调递减)，9时满足条件.由此得的最大值为9.【解法小结】1.对于可化为f(x)Asin(x)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)，求x即可.2.对于可化为f(x)Acos(x)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)，求x即可.【思维升华】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t(或ycos t)的性质.3.数形结合是本讲的重要数学思想.【易错注意点】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明kZ.三、【名校新题】1.(2019武汉调研)设函数f(x)sincos的图象关于y轴对称，则()A.B.C.D.【解析】A【解析】f(x)sincos2sin，由题意可得f(0)2sin2，即sin1，k(kZ)，k(kZ).|0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1x2|min2，则f(1)的值为()A.B.C.2 D.2【答案】C【解析】依题意可得函数的最小正周期为2|x1x2|min224，即，所以f(1)2sin cos 2.4.(2019西安八校联考)已知函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，则f(x)在0，上的单调递增区间是()A. B.C. D.【答案】A【解析】因为0，所以，又因为f(x)cos(x)在x时取得最小值，所以，所以f(x)cos.由0x，得x.由x，得x，所以f(x)在0，上的单调递增区间是.5.(2019广西五市联考)若函数f(x)2sin x(01)在区间上的最大值为1，则()A. B.C. D.【答案】C【解析】因为01,0x，所以0x，所以f(x)在区间上单调递增，则f(x)maxf2sin1，即sin.又因为0x，所以，解得.6.(2018日照一中模拟)下列函数中，周期为，且在上单调递增的奇函数是()Aysin BycosCycos Dysin【答案】C【解析】ysincos 2x为偶函数，排除A；ycossin 2x在上为减函数，排除B；ycossin 2x为奇函数，在上单调递增，且周期为，符合题意；ysincos x为偶函数，排除D.故选C.7.（安徽定远重点中学2019届高三上学期第一次月考）设函数，其中常数满足若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】fx=-3sin3x+,fx+fx=2cos3x+3,依题意，+3=k,kZ,-0,可得。10.（2019年合肥二模）将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是A.函数的图象关于点对称 B.函数的周期是C.函数在上单调递增 D.函数在上最大值是1【答案】C【解析】由题意，gx=2sin2x+6-1,当x0,6时，2x+66，2，gx单调递增。故选C.11.(2019商丘质检)函数f(x)3sin，(0，)满足f(|x|)f(x)，则的值为_.【答案】【解析】由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，f(0)3sin3，k(kZ)，又0，.12.(2019烟台检测)若函数f(x)cos(0)是奇函数，则_.【答案】【解析】因为f(x)为奇函数，所以k(kZ)，k，kZ.又因为00)在上单调递减，则的取值范围是_【答案】【解析】由x，得x0)，ff，且f(x)在上单调递减，则_.【答案】1【解析】由ff，可知函数f(x) 的图象关于直线x对称，k，kZ，14k，kZ，又f(x)在上单调递减，T，2，又14k，kZ，当k0时，1.15.(2019合肥质检)已知函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性.【解析】(1)f(x)sin xcos xsin，且T，2，于是f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ).即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ).(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ).注意到x，所以令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.16.（湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试） 已知函数.（1）求的最小正周期与最大值；（2）讨论在区间上的单调性.【解析】（1）所以的最小正周期是当即,的最大值为;(2)令,易知的单调递增区间是由得设,易知所以,当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减. 12
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