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1考点考点 0101集合集合1了解集合、元素的含义及其关系2理解集合的表示方法3了解集合之间的包含、相等关系4理解全集、空集、子集的含义5会求简单集合间的并集、交集6理解补集的含义并会求补集.一一、集合的基本概念集合的基本概念1元素与集合的关系：.2集合中元素的特征：确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如 a，b，c 组成的集合与 b，c，a 组成的集合是相同的集合这个特性通常被用来判断两个集合的关系3集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作.4常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或2注意：注意：实数集不能表示为x|x 为所有实数或，因为“”包含“所有”“全体”的含义.5集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.二、二、集合间的基本关系集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn 图表示基本基本关系子集集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素（或）真子集集 合 A 是 集 合 B 的 子集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中（或）相等集合 A，B 中元素相同或集合 A，B 互为子集空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，必记结论：必记结论：（1）若集合 A 中含有 n 个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集（2）子集关系的传递性，即.注意：注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.三、集合的基本运算三、集合的基本运算1集合的基本运算集合的基本运算名称自然语言符号语言Venn 图3交集由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合并集由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合补集由全集 U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合2集合运算的相关结论集合运算的相关结论交集并集补集3必记结论必记结论考向一集合的基本概念解决集合概念问题的一般思路：（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义常见的集合的意义如下表：集合4集合的意义方程的解集不等式的解集函数的定义域函数的值域函数图象上的点集（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.典例典例 1 1 已知集合，则集合中元素的个数为AB3C4D5【答案】D【解析】当时，则；当时，则，故集合，即元素的个数为 5，故选 D【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性，以确保答案正确1已知，求实数的值.考向二集合间的基本关系集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值范围.典例典例 2 2集合2，3，4，则集合B所含元素个数为A3B6C8D105【答案】D【解析】集合2，3，4，集合B所含元素个数为 10故选：D【名师点睛】本题考查集合中元素个数的求法，考查集合性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2已知集合，则集合的子集的个数为ABCD考向三 集合的基本运算有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有：（1）有限集（数集）间集合的运算求解时，可以用定义法和 Venn 图法，在应用 Venn 图时，注意全集内的元素要不重不漏.（2）无限集间集合的运算常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围.（3）用德摩根公式法求解集合间的运算对于有和的情况，可以直接应用德摩根公式和进行运算.典例典例 3 3设全集，集合，则集合AB6CD【答案】D【解析】因为A=x|x3，所以=x|x3，所以（）Bx|0 x3故选：D【名师点睛】本题的考点是集合的补集和交集运算，比较基础3集合，则集合PQ的元素个数是A0B1C2D34已知集合，则ABCD考向四 与集合有关的创新题目与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质典例典例 4 4 设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集，且，有；，有7，则下列结论恒成立的是A中至少有一个关于乘法是封闭的B中至多有一个关于乘法是封闭的C中有且只有一个关于乘法是封闭的D中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A【解析】取，可得 T 关于乘法不封闭，V 关于乘法封闭，又取，可得 T,V 关于乘法均封闭，故排除 B，C，D，选 A5设是的两个子集，对任意，定义：若，则对任意，_；若对任意，则的关系为_.1已知集合，那么ABCD0，1，2A2设集合，则ABCD3已知集合P=x|3x22x 0,Q=x|4 0，B=x|x10，则AB=A(，1)B(2，1)C(3，1)D(3，+)6【2019 年高考全国卷文、理数】已知集合2 1,0,1,2,|1ABx x，则AB A1,0,1B0,1C1,1D0,1,27【2019 年高考全国卷文数】已知集合1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB，则UBA A1,6B1,7C6,7D1,6,78【2019 年高考天津文、理数】设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R，则A 2B2,3C1,2,3D1,2,3,49【2019 年高考北京文数】已知集合A=x|1x1，则AB=A（1，1）B（1，2）C（1，+）D（1，+）10【2018 年高考全国卷理数】已知集合220Ax xx，则A RA12xx B12xx C|1|2x xx x D|1|2x xx x 11【2018 年高考全国卷文、理数】已知集合|10Ax x，012B，则AB A 0B 1C12，D0 12，12【2018 年高考全国卷理数】已知集合223Axy xyxyZZ，则A中元素的个数为11A9B8C5D413【2018 年高考全国卷文数】已知集合02A，21012B ，则AB A02，B12，C 0D21012，14【2018 年高考全国卷文数】已知集合1,3,5,7A，2,3,4,5B，则AB A 3B 5C3,5D1,2,3,4,5,7变式拓展变式拓展1【答案】32.【解析】因为2A，所以有12,a 或22512aa ，显然212a ，当12a 时，1a ，此时212512aaa ，不符合集合元素的互异性，故舍去；当22512aa 时，解得32a ，或1a ，由上可知1a 不符合集合元素的互异性，故舍去，故32a .【名师点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，考查了集合元素的互异性，考查了解方程、分类讨论思想.解答本题时，由2A，有12,a 或22512aa ，显然212a ，解方程求出实数a的值，但要注意集合元素的互异性.2【答案】B【解析】集合2|02xAxxZ1,0,1,2，2|,By yxxA0,1,4，故集合B的子集的个数为328.故选 B.【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题，当集合的元素个数较少时，也可以利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏123【答案】B【解析】由题意，在同一坐标系中，画出函数1()2xy 和2logyx的图象，如图所示，由图象看出，1()2xy 和2logyx只有一个交点，所以PQ的元素个数为 1，故选 B【名师点睛】本题主要考查了集合的交集，以及指数函数与对数函数的图象的应用，其中解答中在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合法的应用，属于基础题.解答本题时，在同一坐标系中，画出函数1()2xy 和2logyx的图象，结合图象，即可求解，得到答案.4【答案】C【解析】集合，即0Bx x，而，所以1ABx x，故选 C 项.【名师点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于简单题.解答本题时，先化简集合，然后计算和，得到答案.5【答案】【解析】AB，xA时，m=0，m(1n)=0.xA时，必有xB，m=n=1，m(1n)=0.综上可得：m(1n)=0.对任意xR R，m+n=1，则m，n的值一个为 0，另一个为 1，即xA时，必有xB，或xB时，必有xA，A，B的关系为.【名师点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力13和计算求解能力.解答本题时，由题意分类讨论xA和xA两种情况即可求得的值，结合题中的定义和m，n的关系即可确定A，B之间的关系.考点冲关考点冲关1【答案】B【解析】因为集合A0，1，2，所以 0A，选项 A 不正确，选项 B 正确，选项 C 是集合与集合之间的关系，错用元素与集合关系；选项 D 两个集合相等，所以 D 错误故选 B【名师点睛】本题考查集合与集合之间的关系，元素与集合的关系的应用，考查基本知识的掌握情况2【答案】C【解析】，故，选 C.【名师点睛】在集合的交并补的运算中，注意集合元素的属性，本题为基础题.3【答案】C【解析】因为P=x|3x22x 0=x|x 23或x 0，所以,又因为Q=x|4 3x+2 3=x|2 x 13，所以x|0 x 13=(0,13，故选 C【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到4【答案】A【解析】A1，0，1，Ba，a2，且BA；，a1故选：A【名师点睛】本题考查列举法的定义，集合元素的互异性，以及子集的定义5【答案】B【解析】，14由，可得是方程的两根，由根与系数的关系可得，即，故选 B.【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意划归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解6【答案】B【解析】由题意得M=y y=1x,0 x 1=(1,+)，N=x x22 x 0=x|0|x 2=2,2=(,1图中阴影部分所表示的集合为，=2,1故选 B7【答案】A【解析】由题意知，A为奇数集，又由集合，则AB1，3，共 2 个元素，其子集有 224 个，所以真子集有 3 个.故选 A【名师点睛】本题考查集合的子集与真子集，关键是正确理解集合A，求出集合AB解答本题时，根据题意由A的意义，再结合交集的定义可得集合AB，分析可得答案8【答案】C【解析】由题意A=y|y 0=x|2 x 0得x 2，所以A=x|x 2，所以可以求得.故选 B【名师点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.11【答案】C【解析】易得集合,所以.故选 C【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.12【答案】A【解析】x2+y2 3,x2 3,x Z Z,x=1,0,1，当x=1时，y=1,0,1；当x=0时，y=1,0,1；当x=1时，y=1,0,1,所以共有 9 个元素.选 A19【名师点睛】本题考查集合与元素的关系，点与圆的位置关系，考查学生对概念的理解与识别.13【答案】A【解析】根据集合的交集中元素的特征，可以求得A B=0,2.故选 A.【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.14【答案】C【解析】A=1,3,5,7,B=2,3,4,5,A B=3,5.故选 C.【名师点睛】集合题是每年高考的必考内容，一般以客观题的形式出现，解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用 Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
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