（名师导学）2020版高考数学总复习 第五章 平面向量、复数 第30讲 平面向量的数量积练习 理（含解析）新人教A版

第30讲平面向量的数量积夯实基础【p65】【学习目标】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系；5会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题【基础检测】1向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a()A1 B0 C1 D2【解析】法一：a(1，1)，b(1，2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二：a(1，1)，b(1，2)，2ab(2，2)(1，2)(1，0)，从而(2ab)a(1，0)(1，1)1.【答案】C2已知向量a，b满足|a|，|b|2，a与b的夹角为.若a(ab)，则实数()A1 B. C. D2【解析】a，a0，即a2ab0，32cos0，解得.【答案】C3已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A.B.CD【解析】由题意知(2，1)，(5，5)，则在方向上的投影为|cos，.【答案】A4已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a与b的夹角是()A. B. C.D.【解析】(ab)a，a(ab)0，即a2ab0，|a|2|a|b|cos 0，22cos 0，cos ，所以.【答案】B5若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足，则_【解析】因为1212122.【答案】2【知识要点】1两向量的夹角已知非零向量a，b，作a，b，则AOB叫做a与b的夹角a与b的夹角的取值范围是_0，_当a与b同向时，它们的夹角为_0_；当a与b反向时，它们的夹角为_；当夹角为90时，我们说a与b垂直，记作ab.2向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把_|a|b|cos_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0a0.3向量数量积的几何意义向量的投影：|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，_它是负值_；当为直角时，它是零ab的几何意义：数量积ab等于_a的长度|a|_与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积4平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.结论几何表示坐标表示模|a|a|_数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|5.平面向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(R)(3)(ab)cacbc.典例剖析【p65】考点1平面向量的数量积的运算(1)已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x()A1 BC.D1【解析】ab12(1)x2x1，x1.【答案】D(2)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_【解析】因为ab(e12e2)(ke1e2)ke(12k)(e1e2)2e，且|e1|e2|1，e1e2，所以k(12k)20，解得k.【答案】(3)已知向量与的夹角为120，且|3，|2，若，且，则实数的值为_【解析】向量与的夹角为120，且|3，|2，|cos 120233.，且，0，即|2|20，33490，解得.【答案】(4)正方形ABCD边长为2，中心为O，直线l经过中心O，交AB于M，交CD于N, P为平面上一点，且2(1)，则的最小值是()AB1 CD2【解析】由题意可得：(4242)22，设2，则(1)，(1)1，Q，B，C三点共线当MN与BD重合时，最大，且max2，据此：()min2.【答案】C【点评】向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题考点2平面向量的夹角与垂直问题已知a(1，2)，b(3，4)，cab(R)(1)为何值时，|c|最小？此时c与b的位置关系如何？(2)为何值时，c与a的夹角最小？此时c与a的位置关系如何？【解析】(1)c(13，24)，|c|2(13)2(24)2510252254，当时， |c|最小，此时c，bc(3，4)0，bc，当时， |c|最小，此时bc.(2)设c与a的夹角为，则cos ，要c与a的夹角最小，则cos 最大，0，故cos 的最大值为1，此时0，cos 1，1，解之得0，c(1，2)0时，c与a的夹角最小，此时c与a平行【点评】本题主要考查向量的数量积和坐标运算求解两个向量之间的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别求出这两个向量的模；第三步，根据公式cosa，b，求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据两个向量夹角的范围在0，内及其余弦值，求出这两个向量的夹角其中当向量的夹角为锐角时ab0，且两向量不共线，当向量的夹角为钝角时ab0)上，如图，数形结合可知|ab|min|1.法二：由b24eb30得b24eb3e2(be)(b3e)0.设b，e，3e，所以be，b3e，所以0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图设a，作射线OA，使得AOE，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.【答案】A3(2017山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_【解析】(e1e2)(e1e2)ee1e2e1e2e，|e1e2|2，|e1e2|，2cos 60，解得.【答案】考点集训【p210】A组题1在RtABC中，C90，AC4，则()A16 B8 C8 D16【解析】法一：因为cos A，所以|cos AAC216.法二：在上的投影为|cos A|，故|cos AAC216.【答案】D2已知向量a(cos 75，sin 75)，b(cos 15，sin 15)，则向量a与向量b的夹角为()A90 B0C45 D60【解析】cos cos 75cos 15sin 75sin 15cos 60，所以60.【答案】D3已知向量a(1，0)，|b|，a与b的夹角为45，若cab，dab，则c在d方向上的投影为()A. B C1 D1【解析】ab|a|b|cos 4511，|d|ab|1，cda2b21，|c|cos 1.【答案】D4若向量|a|，|b|1，|c|，且ab0，则acbc的最大值是()A1 B.C.D3【解析】acbc(ab)ccosab，c3，选D.【答案】D5在ABC中，已知|4，|1，SABC，则的值为_【解析】SABC41sin A，sin A，cosA，412.【答案】26已知向量，的夹角是120，且|2，|3，若，且，则实数的值是_【解析】，00，即220，24，29，cosBAC3，式变为：4930，解得.【答案】7已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)【解析】由已知得ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640，k7.即k7时，a2b与kab垂直8已知平面上三点A，B，C，(2k，3)，(2，4)(1)若A，B，C三点不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，求k的值【解析】(1)由A，B，C三点不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量与平行，4(2k)230，解得k.(2)(2k，3)，(k2，3)，(k，1)若ABC为直角三角形，则当A是直角时，即0，2k40，解得k2；当B是直角时，即0，k22k30，解得k3或k1；当C是直角时，即0，162k0，解得k8.综上得k的值为2，1，3，8.B组题1在等腰ABC中，BAC120，ABAC2，2，3，则的值为()ABC.D.【解析】在等腰ABC中，BAC120，ABAC2，2，3，|2|24422.【答案】A2在RtABC中，CACB3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN，则的取值范围是()A. B.C. D.【解析】以C为坐标原点，CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(0，3)，AB所在直线的方程为1，则y3x.设M(a，3a)，N(b，3b)，且0a3，0b3，不妨设ab，MN，(ab)2(ba)22，ab1，ab1，0b2，(a，3a)(b，3b)2ab3(ab)92(b22b3)2(b1)24，又0b2，当b0或b2时有最大值6；当b1时有最小值4，的取值范围是4，6【答案】D3已知向量(6，1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x与y之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若，求x，y的值及四边形ABCD的面积【解析】(1)(x4，y2)，(x4，2y)，又且(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)由于(x6，y1)，(x2，y3)，又，0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0.联立，化简得y22y30.解得y3或y1.故当y3时，x6，此时(0，4)，(8，0)，S四边形ABCD|16；当y1时，x2，此时(8，0)，(0，4)，S四边形ABCD|16.4已知向量a，b夹角为，|b|2，且对任意xR，有|bxa|ab|.求|tba|tb|(tR)的最小值【解析】向量a，b夹角为，|b|2，对任意xR，有|bxa|ab|，两边平方整理可得x2a22xab(a22ab)0，则4(ab)24a2(a22ab)0，即有(a2ab)20，即a2ab，则(ab)a，由向量a，b夹角为，|b|2，由a2ab|a|b|cos，即有|a|1，则|ab|，画出a，b，建立平面直角坐标系，如图所示则A(1，0)，B(0，)，a(1，0)，b(1，)|tba|2表示P(t，0)与M，N的距离之和的2倍，当M，P，N共线时，取得最小值2|MN|.即有2|MN|2.备课札记17