（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题四 函数与导数、不等式 第20讲 导数与函数的零点问题练习

第20讲 导数与函数的零点问题1若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)k有3个解，求实数k的取值范围解：(1)对函数f(x)求导得f(x)3ax2b，由题意知解得所以f(x)x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)因此，当x2时，f(x)有极大值；当x2时，f(x)有极小值.所以函数f(x)x34x4的图象大致如图所示因为方程f(x)k的解的个数即为yk与yf(x)的交点个数所以实数k的取值范围是.2已知函数f(x)ex1，g(x)x，其中e是自然对数的底数，e2.718 28.(1)证明：函数h(x)f(x)g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程f(x)g(x)的根的个数，并说明理由解：(1)证明：由h(x)f(x)g(x)ex1x得，h(1)e30，且h(x)在区间(1,2)上是连续的，所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点(2)由(1)得h(x)ex1x.由g(x)x知，x0，)，而h(0)0，则x0为h(x)的一个零点，而h(x)在(1,2)内有零点，因此h(x)在0，)上至少有两个零点因为h(x)exx1，记(x)exx1，则(x)exx.当x(0，)时，(x)0，因此(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)上至多只有一个零点，即h(x)在0，)上至多有两个零点所以方程f(x)g(x)的根的个数为2.3已知函数f(x)aexx2bx(a，bR)(1)设a1，若函数f(x)在R上是单调递减函数，求b的取值范围；(2)设b0，若函数f(x)在R上有且只有一个零点，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)exx2bx，f(x)ex2xb，由题意知，f(x)ex2xb0对xR恒成立由ex2xb0，得bex2x.令F(x)ex2x，则F(x)ex2，由F(x)0，得xln 2.当xln 2时，F(x)0，F(x)单调递增，当xln 2时，F(x)0，F(x)单调递减，从而当xln 2时，F(x)取得最大值2ln 22，b2ln 22，故b的取值范围为2ln 22，)(2)当b0时，f(x)aexx2.由题意知aexx20只有一个解由aexx20，得a，令G(x)，则G(x)，由G(x)0，得x0或x2.当x0时，G(x)0，G(x)单调递减，故G(x)的取值范围为0，)；当0x2时，G(x)0，G(x)单调递增，故G(x)的取值范围为；当x2时，G(x)0，G(x)单调递减，故G(x)的取值范围为.由题意得，a0或a，从而a0或a，故若函数f(x)在R上只有一个零点，则a的取值范围为04已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x20，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点设a0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)证明：不妨设x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，又f(x)在(，1)内单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0.从而g(x2)f(2x2)0，故x1x2m时，f(x)x2kx10.设0x1，x2kx1max1，k，所以f(x)ln x，当0xe时，f(x)0，取nmin1，e，则当x(0，n)时，f(x)0，又函数f(x)在定义域(0，)上连续不间断，所以函数f(x)在定义域内有且仅有一个零点当k2时，f(x)在(0，x1)和(x2，)上递增，在(x1，x2)上递减，其中2xkx110,2xkx210，则f(x1)ln x1xkx11ln x1x(2x1)1ln x1x2.下面先证明ln xx(x0)：设h(x)ln x x，由h(x)0得0x1，所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，h(x)maxh(1)10，所以h(x)0(x0)，即ln xx(x0)因此，f(x1)x1x220，又因为f(x)在(x1，x2)上递减，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x)在区间(0，x2)不存在零点由知，当xm时，f(x)0，f(x)的图象连续不间断，所以f(x)在区间(x2，)上有且仅有一个零点综上所述，函数f(x)在定义域内有且仅有一个零点- 6 -