高等数学（上）：D2_1导数的概念

2.1 导数概念导数概念第二章第二章微积分学的创始人微积分学的创始人:德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数从微观上研究函数)导数与微分导数与微分导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家 Ferma 在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.英国数学家英国数学家 Newton2.1 导数概念导数概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章第二章 一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为()sf t t0则则 到到 的平均速度为的平均速度为t0t v ()()f tf t 0tt 0而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为t0 limttv 0()()f tf t 0tt 0sgt 212so()f t0()f tt自由落体运动增量比的极限增量比的极限2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率xyo)(xfy C曲线曲线)(:xfyC NT0 xM在在 M 点处的点处的切线切线x割线割线 M N 的的极限位置极限位置 M T.(当当 时时)00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线.)()(lim000 xxxfxfkxx 问题问题:如何确定如何确定切线的斜率切线的斜率?割线割线 M N 的斜率的斜率切线切线 MT 的斜率的斜率 tan k tanlim 增量比的极限增量比的极限两个问题的共性两个问题的共性:so)(0ts瞬时速度瞬时速度)()(0tsts 0tt 切线斜率切线斜率xyo)(xfy CT0 xM lim0 xxk)()(0 xfxf 0 xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题变化率问题 lim0ttv 二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数设函数()yf x 在点在点x0limxx0()()f xf xxx 00limxyx 0()()yf xf x 0 xxx 0存在存在,()f x并称此极限为并称此极限为()yf x 记作记作:;x xy 0();fx 0d;dyxxx 0d()df xxxx 0即即x xy 0()fx 0limxyx 0()()limxf xxf xx 000()()limhf xhf xh 000则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义,在点在点x0处处可导可导,在点在点x0的的导数导数.2.1 导数概念导数概念运动质点的位置函数运动质点的位置函数)(tss 在在 时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度0t lim0ttv)()(0tsts 0tt 曲线曲线)(:xfyC 在在 M 点处的点处的切线斜率切线斜率xyo)(xfy C NT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf 0 xx )(0ts )(0 xf so)(0ts)(ts2.1 导数概念导数概念 .)(lim 00 的导数为的导数为在点在点就说函数就说函数如果如果xxfxyx(2)若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,就称函数在就称函数在 I 内内此时导数值构成的新函数称为此时导数值构成的新函数称为导函数导函数(导数导数).记作记作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf可导可导.)(xf 即即.)()(lim0hxfhxfh .)(,lim (1)00不不可可导导在在点点则则称称函函数数不不存存在在如如果果极极限限xxfxyx 说明说明:2.1 导数概念导数概念0)()(0 xxxfxf hxfhxfxfh)()(lim)(.10 为为导导数数处处的的定定义义域域内内任任意意一一点点导导函函数数)()(.200 xfxxxf .d)(d0 xxf 注意注意:.,是是变变量量是是常常量量在在上上述述极极限限过过程程中中hx2.1 导数概念导数概念一般步骤一般步骤:);()()1(xfhxfy 求增量求增量;)()()2(hxfhxf 算比值算比值.)()(lim)()3(0hxfhxfxfh 求极限求极限hxfhxfxfh)()(lim)(0 利用利用导数的定义导数的定义求函数的导数求函数的导数2.1 导数概念导数概念例例1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解:hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.0)(C即即例例2.)N(处处的的导导数数在在求求函函数数axnxyn 解解:axafxfafax )()(lim)()(lim1221 nnnnaxaxaaxx.1 nna.)(1 nnxnx由由此此得得axaxnnax lim2.1 导数概念导数概念更一般地更一般地)(.)(R1 xx)(x例如例如:12121 x.()xx102 x111)1(x)0(.12 xx关于例关于例2的扩展的扩展)(21 x)(1 x xx1 43x14343 x.4347 x关键关键:上述函数本质上都是幂函数上述函数本质上都是幂函数.2.1 导数概念导数概念例例3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解:hxfhxfxfh)()(lim)(0 hhhxh2sin2cos2lim0 .cos x.cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 22sin)2cos(lim0hhhxh 类似可得类似可得.sin)(cosxx hxhxhsin)sin(lim0 2.1 导数概念导数概念例例4.)1,0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解:haaxhxh 0limhaahhx1lim0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即 ,e 时时特殊地当特殊地当 a.e)e(xx hxfhxfxfh)()(lim)(0 2.1 导数概念导数概念例例5.)1,0(log)(的导数的导数求函数求函数 aaxxfa解解:.elog1)(logaaxx 即即 .1)(ln xx hxhxah loglim0hxahxhx 1loglim10.elog1ax xhhah1log1lim0hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxhxaahlog)(loglim0 特殊地特殊地,hahxh101loglim 关键关键(2)右导数右导数:(1)左导数左导数:)(0 xf 记记.)()(lim000 xxxfxfxx hxfhxfh)()(lim000 hxfhxfh)()(lim000 .)()()(000都存在且相等都存在且相等和右导数和右导数左导数左导数点可导点可导在在函数函数xfxfxxf 0 x;)()(lim000 xxxfxfxx )(0 xf 记记3.单侧导数单侧导数.0h 0h2.1 导数概念导数概念若函数若函数()f x()fa ()fb 与与都存在都存在,则称则称()f x显然显然:()f x在闭区间在闭区间 a,b 上可导上可导(),f xC a b 在开区间在开区间 内可导内可导,(,)a b在闭区间在闭区间 上可导上可导.,a b且且例例6.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解:yx xyo,)0()0(hhhfhf hfhffh)0()0(lim)0(0 ,1 hfhffh)0()0(lim)0(0 .1 )0()0(ff .0|)(点点不不可可导导在在函函数数 xxxfhhh 0limhhh 0lim2.1 导数概念导数概念.)0(,)0(,0,0,sin)(ffaxxaxxxf 并求出并求出存在存在取何值时取何值时问问设设例例7.解解:)0(f00sinlim0 xxx,1 )0(f00lim0 xxax,a,1 a ,)0(存在存在要使得要使得 f .1)0(f且且).0()0(ff必须必须故故三、三、导数的几何意义导数的几何意义xyo()yf x CTx0M曲线曲线()yf x 在点在点(,)xy00的切线斜率为的切线斜率为tan()fx 0若若(),fx 00曲线过曲线过上升上升;若若(),fx 00曲线过曲线过下降下降;xyox0(,)xy00若若(),fx 00切线与切线与 x 轴平行轴平行,称为称为驻点驻点;(,)xy00(,)xy00 x0若若(),fx 0切线与切线与 x 轴垂直轴垂直.曲线在点曲线在点处的处的(,)xy00切线方程切线方程:()()yyfxxx 000法线方程法线方程:()()yyxxfx 0001()fx 00 xyox0(),fx 0时例例7.问曲线问曲线1111yx 3哪一点有垂直切线哪一点有垂直切线?哪一点处哪一点处的切线与直线的切线与直线yx 131平行平行?写出其切线方程写出其切线方程.解解:()yx 3x 2313,x 32113,xy 0 x 0令令,x 3211133得得,x 1对应对应,y 1则在点则在点(1,1),(1,1)处与直线处与直线yx 131平行的切线方程分别为平行的切线方程分别为(),yx 1311()yx 1311即即xy 320故在原点故在原点(0,0)有垂直切线有垂直切线2.1 导数概念导数概念例例8.,2,211方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线 xy解解:由导数的几何意义由导数的几何意义,21 xyk切切211 xx2121 xx,4 切线方程切线方程:法线方程法线方程:,2142 xy,21412 xy.044 yx即即.01582 yx即即得切线斜率为得切线斜率为切切法法kk1 ,41 例例9.)4,0(23的的切切线线方方程程的的通通过过点点求求曲曲线线 xy解解:),(00yx设设切切点点为为且切线斜率为且切线斜率为 )(0 xf012323xxx ,230 x 切线方程为切线方程为),(23000 xxxyy ,2300 xy 则则 ,)4,0(因为切线通过点因为切线通过点 ),0(234 00230 xxx 则则 ,8 ,4 00 yx解得解得所求切线方程为所求切线方程为.043 yx求出切点是关键求出切点是关键!四、函数可导性与连续性的关系四、函数可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设设)(xfy 在点在点 x 处可导处可导,)(lim0 xfxyx 存在存在,因此因此,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy )(0 x0所以函数所以函数)(xfy 在点在点 x 连续连续.注意注意:函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在在 x=0 处连续处连续,但不可导但不可导.即即处处可可导导在在点点xxf)(处连续处连续在点在点xxf)(2.1 导数概念导数概念3xy xy0例例10.内内连连续续，在在区区间间函函数数),()(3 xxfy.0处处不不可可导导但但在在 x证证:hfhfh)0()0(lim 0 hhh0lim30 3/201limhh,.0 )(3不不可可导导在在 xxxf2.1 导数概念导数概念例例11.0 ,0,00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解:,1sin 是是有有界界函函数数x ,01sinlim)(lim 00 xxxfxx .0)(处连续处连续在在 xxf 0)0(f ,)(lim0 xfx,0lim 0 xx且且i)连续性连续性.)()(lim00 xfxfxx .0 )(处不可导处不可导在在故故 xxf,1sinlim0hh hhhh001sin)0(lim0 ,)0()0(lim 0不不存存在在hfhfh ,1sinlim 0不不存存在在hh 0,00,1sin)(xxxxxfii)可导性可导性.hfhfh)0()0(lim0 内容小结内容小结1.导数的实质导数的实质:3.导数的几何意义导数的几何意义:4.可导必连续可导必连续,但连续不一定可导但连续不一定可导;5.已学求导公式已学求导公式:6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.()C ()x (sin)x (cos)x ()fxa 02.()()fxfxa 00(ln)x ;0;x 1cos;xsin;x x1增量比的极限增量比的极限;切线的斜率切线的斜率;()xxee 2.1 导数概念导数概念思考与练习思考与练习1.函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf)(xf 区别区别:)(xf 是函数是函数,)(0 xf 是数值是数值;联系联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系?)()(00 xfxf？与导函数与导函数2.设设)(0 xf 存在存在,则则._)()(lim000hxfhxfh3.已知已知,)0(,0)0(0kff则则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4.若若),(x时时,恒有恒有,)(2xxf问问)(xf是否在是否在0 x可导可导?解解:由题设由题设0)0(f0)0()(xfxfx0由夹逼准则由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故故)(xf在在0 x可导可导,且且0)0(f2.1 导数概念导数概念5.设设0,0,sin)(xxaxxxf,问问 a 取何值时取何值时,)(xf 在在),(都存在都存在,并求出并求出.)(xf 解解:显然该函数在显然该函数在 x=0 连续连续.)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故故1a时时,1)0(f此时此时)(xf 在在),(都存在都存在,)(xf0,cosxx0,1x2.1 导数概念导数概念作业作业 P86 5,6(3),9(1),11,13,16(2),18 2.1 导数概念导数概念备用题备用题 解解:因为因为1.设设)(xf 存在存在,且且,12)1()1(lim0 xxffx求求).1(f 0(1)(1)1lim2xffxx 所以所以.2)1(fxfxfx2)1()1(lim0)()1()(1(lim210 xfxfx)1(21f 2.1 导数概念导数概念)(xf在在 0 x处连续处连续,且且xxfx)(lim0存在，存在，证明证明:()f x在在0 x处可导处可导.证证：因为因为xxfx)(lim0存在，存在，则有则有0)(lim0 xfx又在在处连续处连续,0)0(f所以所以0()limxf xx 即即)(xf在在0 x处可导处可导.2.设设xfxfx)0()(lim0(0)f 故故0 x)(xf