多元函数微分PPT学习教案

会计学1多元函数微分多元函数微分R,),(yxyx有序实数对集有序实数对集：1-1yx),(yxo“有序实数对有序实数对”与与“平面上的点平面上的点”不加区别不加区别.的的点点的的集集合合，称称为为质质坐坐标标平平面面上上具具有有某某种种性性P平平面面点点集集.,),(:PyxyxE具具有有性性质质，并并记记作作 例如：例如：.都都是是平平面面点点集集,),(222ryxyxF ,),(dycbxayxE .,),(2RyxyxR 二维空间：二维空间：第1页/共41页1.邻域邻域0P),(0 PU 2020)()(|),(yyxxyx 定义定义：的集合的集合的所有点的所有点为半径的圆内为半径的圆内为中心，为中心，以以),(0),(000yxyxP 邻域邻域 .的的称为点称为点0P),(0 PUo)()(0),(220 oyyxxyx空（去）心邻域空（去）心邻域:第2页/共41页2.内点：内点：.2EPRE ，设设,),(,0EEPU ，也也有有点点内内既既有有点点若若 4.界点：界点：,0 若若3.外点：外点：.12EPRE ，设设,0 若若EP P，使使得得 EPU)(1 1P），或或（EPEP ,EEE 记记为为的的为为的的所所有有界界点点的的集集合合，称称边界边界.)(的的为为，则则称称，使使得得EPEPU 内点内点.1的的为为则则称称EP外外点点的的（边边）为为则则称称EP界界点点第3页/共41页5.聚点聚点:(a)内点一定是聚点；内点一定是聚点；10|),(22 yxyxE例例:,1|),()0,0(22 yxyxE边边界界,),(,0中中的的点点内内都都有有若若EPUo ，即即 EPUo),(),(,0 PU 亦亦即即,点点的的内内都都有有 E无穷多个无穷多个.的的为为则则称称EP聚聚点点,1|),(22于于该该集集合合上上的的点点都都是是聚聚点点且且都都属属 yxyx.00的的聚聚点点仍仍是是），点点（EE(b)点集点集 的聚点可以属于的聚点可以属于 ，也可以不属于，也可以不属于 EEE第4页/共41页的的每每一一个个点点都都是是它它的的若若平平面面点点集集 E6.开集：开集：.为为内内点点，则则称称E开开集集41),(22 yxyxE如：如：是开集是开集 7.闭集：闭集：EE 的的所所有有聚聚点点都都属属于于若若平平面面点点集集.为为则则称称 E闭闭集集没没有有聚聚点点，这这若若平平面面点点集集 E.为为时时也也称称 E闭集闭集,),(dycbxayx 例如：例如：是闭集是闭集；41),(22 yxyx不是开集，也不是闭集不是开集，也不是闭集；2R而而 既是开集，又是闭集既是开集，又是闭集；约定约定：空集：空集 既是开集，又是闭集既是开集，又是闭集.第5页/共41页.的折线连结起来的折线连结起来都可用属于都可用属于内任何两点，内任何两点，连通是指对于开集连通是指对于开集EEE 8.开区域：开区域：41|),(22 yxyx例如例如:xyo41|),(22 yxyxxyo是开区域；是开区域；9.闭区域：闭区域：是闭区域；是闭区域；连通连通的开集称为的开集称为开区域开区域 .2R而而 既是开区域，又是闭区域既是开区域，又是闭区域.若不需要指明区域的开闭性或区域若不需要指明区域的开闭性或区域的开闭性比较明显，就简称为的开闭性比较明显，就简称为区域区域.第6页/共41页0|),(yxyx是有界闭区域；是有界闭区域；是无界开区域是无界开区域xyo例如，例如，41|),(22 yxyx10.有界点集：有界点集：无界点集：无界点集：非有界点集非有界点集.为为有有界界点点集集则则称称，使使若若ElOUEl),(,0 Eoxyl第7页/共41页11.区域的直径：区域的直径：.,|sup)(2121EPPPPEd 之之间间的的距距离离，与与表表示示点点其其中中：),(),(22211121yxPyxPPP 的的径径直直为为：是是有有界界区区域域，则则设设EE.)()(22122121yyxxPP 即即显显然然，.)(为为有有限限值值是是有有界界点点集集EdE例例如如：dd第8页/共41页更更一一般般的的，有有维维空空间间：n的的全全体体，即即个个有有序序实实数数组组把把),(21nxxxn称称为为,2,1,),(21nkRxxxxkn .维维空空间间nnR，记记作作维维称称为为元元数数组组而而每每个个nxxxnn),(21其其中中，表表为为的的一一个个点点空空间间.),(21nnxxxPPR.),2,1(个个坐坐标标的的第第称称为为点点kPnkxk.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ ),(21nxxxP,),(21nnRyyyQ 设设 nRPPPPPU ,|),(00 邻域：邻域：中中 内点、边界点、区域、聚点内点、边界点、区域、聚点等概念可类似定义等概念可类似定义nR 维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 n第9页/共41页定义定义 1 1 设设D是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量，变量 z按照一定的法则总有唯一确定按照一定的法则总有唯一确定的值和它对应，则称的值和它对应，则称 z是变量是变量yx,的的二元函数二元函数，记为记为),(yxfz （或记为（或记为)(Pfz ）.当当2 n时，时，n元函数统称为元函数统称为多元函数多元函数.多元函数中同样有多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量定义域、值域、自变量、因变量等概念等概念 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数可可写写为为R RT T,方方程程P PV V例例如如，理理想想气气体体的的状状态态 R RT TP P,(V V0 0,T T0 0).V V)()(立立方方体体的的体体积积，长长方方形形的的面面积积又又如如，xyzVxys 第10页/共41页定义定义 的非空子集，的非空子集，维空间维空间是是设设nRnD若若存存在在对对,),(,21DxxxPfn 应关系应关系按按照照对对应应关关系系,Ruf 实实数数对对应应唯一一个唯一一个f则则称称对对应应关关系系元函数元函数n，上上的的是是定定义义在在D.RDf：表表为为的的函函数数值值，在在点点称称为为函函数数对对应应的的数数点点PfuP,;),()(21nxxxfuPfu 或或记为记为的的定定义义域域，称称为为函函数数点点集集fD的的值值域域为为：函函数数 f.),()(RDPPfuuDf 第11页/共41页注注.,.1210们彼此无关们彼此无关，它，它个自变量个自变量元函数有元函数有nxxxnn定义域是定义域是的定义域，就认为它的的定义域，就认为它的没有特别指明它没有特别指明它给定一个函数，给定一个函数，使使该该函函数数有有意意义义的的点点的的集集合合，.确确定定一一般般可可由由函函数数的的解解析析式式元元函函数数：将将元元函函数数相相同同，我我们们约约定定与与一一nRDf：.,)(DPPfu 表表为为：.统统称称为为二二元元和和二二元元以以上上的的函函数数多多元元函函数数,),(21nxxxfu 或或.),(21Dxxxn 第12页/共41页.,)(.20的形式一致，且的形式一致，且数数点函数的表示与一元函点函数的表示与一元函简称简称的函数的函数也称为点也称为点函数函数PRDPPfun 点点函函数数所所在在空空间间的的维维数数无无关关与与点点 P.)(,写成点函数的形式写成点函数的形式多元函数也多元函数也有时为了书写简单，将有时为了书写简单，将间都成立间都成立在任意维空在任意维空得到的结论，对得到的结论，对点函数点函数一般性，对一般性，对点函数形式简单又具有点函数形式简单又具有因此因此PPfu ,),(中中在点函数：在点函数：nRDPPfu ；：，则点函数为一元函数，则点函数为一元函数的点的点即数轴上即数轴上是一维空间是一维空间时，点时，点当当)()()(1xfuxPPn 第13页/共41页；，则点函数为二元函数则点函数为二元函数，的点的点即平面上即平面上是二维空间是二维空间时，点时，点当当)(:),()(2yxfuyxPPn .),(:,),(3zyxfuzyxPPn 则点函数为三元函数则点函数为三元函数是三维空间的点是三维空间的点时，点时，点当当由于此处定义的多元函数的值是实数，由于此处定义的多元函数的值是实数，定定义中的函数也称为义中的函数也称为数量值函数数量值函数 （以后还要讨（以后还要讨论向量值函数）论向量值函数）.第14页/共41页例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解,013222 yxyx.42222 yxyx所求定义域为所求定义域为:.42|),(222yxyxyxD 且且第15页/共41页.)(1)2ln(22的的定定义义域域求求函函数数例例yxxyz 解解.11,2 xyxxy所求定义域为：所求定义域为：.0)(1,022yxxy.1|,2 yxxy第16页/共41页 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如下页图）（如下页图）称为二元函数称为二元函数 的图形的图形.),(yxfz ,)(Dyxfz的的定定义义域域是是平平面面区区域域，设设二二元元函函数数 从从而而在在对对应应唯唯一一一一个个,),(,),(yxfzDyx .),(,3yxfyxMR 中确定唯一一点中确定唯一一点三维空间三维空间 ),(,),(),(yxfzDyxzyxM 集集：点点第17页/共41页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.第18页/共41页最多有一个交点，则最多有一个交点，则轴的直线与曲面轴的直线与曲面平行平行，并且，并且一张曲面一张曲面反之，如果三维空间有反之，如果三维空间有 z,),(yxfz 就就确确定定了了一一个个二二元元函函数数曲曲面面.的定义域的定义域就是该函数就是该函数平面的投影区域平面的投影区域在在曲面曲面Dxoy 例例3.球面球面2222azyx .),(222ayxyxD ,222yxaz .222yxaz 可确定两个二元函可确定两个二元函数数第19页/共41页xyzo2222azyx xyzoD222yxaz xyzoD222yxaz 第20页/共41页 yxyxD ),(xyzsin 二元函数二元函数:对于三元对于三元(及其以上及其以上)函数函数,),(3Rzyx 没有明显的几何意义没有明显的几何意义.),(zyxfu 第21页/共41页定义定义 是是有定义有定义在区域在区域设点函数设点函数0,)(MDMf.,为为确确定定常常数数的的聚聚点点 AD,0,0 若若，00:MMDM.)(AMf有有.)(0AMDMf存在极限存在极限在点在点关于区域关于区域则称则称.)(lim0AMfMM 记记作作即即表表示示，是是二二元元函函数数，并并用用坐坐标标如如果果)(Mf在点在点则二元函数则二元函数),(,),(,),(000yxfyxMyxM:),(000的定义为的定义为的极限是的极限是 AyxM第22页/共41页,0,0 ，2020)()(0:),(yyxxDyx.),(Ayxf有有.),(lim),(lim),(),(0000AyxfAyxfyxyxyyxx 或或记作记作二重极限二重极限这这样样的的极极限限称称为为.的的累累次次极极限限后后先先的的极极限限不不同同，后后者者称称为为与与形形如如二二重重极极限限yxx,yfx,yfxxyyyyxx)(limlim)(lim0000第23页/共41页注注.),(,)(),(),(lim000AyxfMyxMAyxfyyxx的极限都存在且相等为的极限都存在且相等为函数函数时时方式无限趋于方式无限趋于以以或点列或点列曲线曲线一条一条沿沿动点动点 任意任意任任何何定理定理；的极限的极限函数函数时时无限趋近于无限趋近于或点列或点列曲线曲线沿沿若动点若动点),(,),()(),(000yxfyxMyxM不不存存在在某某一一条条.),(,)(),(0的“极限”的“极限”有有函数函数时时无限趋近于无限趋近于或点列或点列曲线曲线沿沿或者动点或者动点yxfMyxM某某两两条条不不同同不同不同.),(lim00不存在不存在则则yxfyyxx第24页/共41页例例1 1 证明证明 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx ,0 ,取取当当 时，时，22)0()0(0yx.01sin)(2222 yxyx原结论成立原结论成立.)0()0(22 yx第25页/共41页的存在性.的存在性.讨论极限讨论极限例例22)00()(lim2yxxy,y,x:解解趋趋于于(0 0,0 0)时时，直直线线任任)沿沿当当点点(kx yx,y 一一过过原原点点的的2200limyxxyyx 22200)1(limxkkxkxyx 21kk 此此极极限限不不存存在在.其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化，第26页/共41页的存在性.的存在性.讨论极限讨论极限例例yxxy,y,x)00()(lim:3解解趋趋于于(0 0,0 0)时时，:直直线线)沿沿任任当当点点(kx yx,y 一一yxxyyx 00lim.0 xkkxkxyx)1(lim200 )1(k此时，不能断定极限存在此时，不能断定极限存在！,)(2时时：(0 0,0 0)沿沿曲曲线线当当点点但但是是,xxyy,xyxxyyx 00limxxxxxxxxyx 2200)(lim2)1(lim0 xx.1 .极极限限不不存存在在故故第27页/共41页证证例例4 4 证明证明 不存在不存在 26300limyxyxyx 若取若取,3xy 26300limyxyxyx 6633003limxxxxxyx .21,kxy 取取26300limyxyxyx 226300limxkxkxxkxyx kxkxx 420lim此时，不能断定极限存在此时，不能断定极限存在！，0 故故 不存在不存在26300limyxyxyx 第28页/共41页22200)sin(lim)1yxxyxyx,)sin(lim22200 xyxxyxyxyyx 其中其中xyxyyx)sin(lim00uuusinlim0,1 22yxxy,21.0)sin(lim22200 yxxyxyxxyu 222yxxy ,02x例例5 求下列极限：求下列极限：第29页/共41页222300lim)2yxyxxyxyx ,222yxxy xyyx 2222222yxyx ,222yx 2)(2222yxyxx 22230yxyxxyx x2 0.0lim222300 yxyxxyxyx)0(x第30页/共41页11lim)3222200 yxyxyx先分母有理化先分母有理化)11(lim2200 yxyx1)1()11()(lim22222200 yxyxyxyx.2 1673 2.()P练习册第31页/共41页)(22)(lim)4yxyxeyx )(22)(limyxyxexyyx yxyxyxeyexeyx2)(lim)(2,0lim2 ttet而而.0lim ttet.0:2方方法法.0,0 yx不不妨妨设设yxeyx 220yxeyx 2)(,tyx 令令tet2)(t.0.0)(lim)(22 yxyxeyx第32页/共41页22)(lim)52200yxyxyx 1683 5.()P练习册)ln(002222limyxyxyxe )ln(02222yxyx 222)(yx )ln(22yx ,22uyx 令令,000 uxy则则00limyx而而222)(yx )ln(22yx uuulnlim20 201lnlimuuu .0.0)ln(lim222200 yxyxyx.10 e第33页/共41页,)(0DMDMf 且且有有定定义义在在区区域域设设函函数数定义定义,)()(lim00MfMfMM 若若.)(0连连续续在在则则称称MMf,)(0不不连连续续在在若若函函数数MMf是是则则称称0M.)(的的间间断断点点函函数数Mf.)(连连续续在在区区域域则则称称函函数数DMf,)(都都连连续续的的在在区区域域若若函函数数DMf任任意意点点),(yxfz 对对在在点点则则),(yxf.),(00连续连续yx，若若)(),(lim0,000yxfyxfyyxx 第34页/共41页例例1 1 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续第35页/共41页.定定义义域域内内的的区区域域上上连连续续一一切切多多元元初初等等函函数数在在其其 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称为函数称为多元初等函数多元初等函数闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域 D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至上至少取得它的最大值和最小值各一次少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域 D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在 D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在 D D上取得介于上取得介于这两值之间的任何值至少一次这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定）最大值和最小值定理理（2）介值定理）介值定理第36页/共41页.)tan(222的的不不连连续续点点求求函函数数例例yxu :)tan(22的的定定义义域域为为函函数数yxu 解解,2,1,0,2),(22 kkyxyxD .,2,1,0,2),(22 kkyxyx :是是所所求求的的不不连连续续点点xyo2 23 25 第37页/共41页:3 求求下下列列极极限限例例2201)ln(lim)1yxexyyx xyxyyx11lim)200 )11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.2ln01)1ln(220 e.2111001 第38页/共41页多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数的定义多元函数的定义多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质思考题思考题 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？第39页/共41页思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0,0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41第40页/共41页