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第2讲 空间向量与立体几何1.如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,且BQBB1(0)(1)若,求AP与AQ所成角的余弦值;(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45,求实数的值解:以,为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),A1(0,0,2),P(1,2,2),Q(2,0,2)(1)当时,(1,2,2),(2,0,1),所以cos,.所以AP与AQ所成角的余弦值为. (2)(0,0,2),(2,0,2)设平面APQ的法向量为n(x,y,z),则即令z2,则x2,y2.所以n(2,2,2)又因为直线AA1与平面APQ所成角为45,所以|cosn,|,可得5240,又因为0,所以.2(2019宿迁期末)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC,ACBC1,BB12,点D在棱BB1上,且C1DAB1.(1)求线段B1D的长;(2)求二面角DA1CC1的余弦值解:在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC,则以,为基底构建如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),A(1,0,2),B1(0,1,0),C1(0,0,0),B(0,1,2),C(0,0,2),所以(1,1,2),设B1Dt,0t2,则D(0,1,t),(0,1,t)(1)由C1DAB1,得0,所以12t0t,所以B1D.(2)易知平面A1C1C的一个法向量为(0,1,0),设平面A1CD的一个法向量为n(x,y,z),由(1)知,(1,0,2),因为所以取z2,则y3,x4,所以n(4,3,2),所以cosn,.所以二面角DA1CC1的余弦值为.3.如图,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,已知BADCDA90,ADCD2,AB1,SASD,且平面SAD平面ABCD.(1)当SASD时,求直线SA与平面SBC所成角的正弦值; (2)若平面SBC与平面SAD所成角的大小为,求SA的长解:(1)取AD中点O,连结SO.因为SASD,所以SOAD,因为平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCDAD,SO平面SAD,所以SO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系,由条件可得,A(1,0,0),S(0,0,1),B(1,1,0),C(1,2,0)所以(1,0,1),(1,1,1),(2,1,0)设平面SBC的法向量n(x,y,z),则所以取n(1,2,3)设直线SA与平面SBC所成角为,则sin |cos,n|.(2)设SOa,则S(0,0,a),所以(1,1,a),平面SBC的法向量n(x,y,z)满足取n.取平面SAD的法向量n(0,1,0),所以cos,解得a,所以SA2.4.如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ABAD,ADBC,APABAD1.(1)若直线PB与CD所成角的大小为,求BC的长;(2)求二面角BPDA的余弦值解:(1)以,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为APABAD1,所以A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)设C(1,y,0),则(1,0,1),(1,1y,0)因为直线PB与CD所成角大小为,所以|cos,|,即,解得y2或y0(舍),所以C(1,2,0),所以BC的长为2.(2)设平面PBD的法向量为n1(x,y,z)因为(1,0,1),(0,1,1),则即令x1,则y1,z1,所以n1(1,1,1)因为平面PAD的一个法向量为n2(1,0,0),所以cosn1,n2,所以由图可知二面角BPDA的余弦值为.5(2019苏州调研)如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面,且ABBP2,ADAE1,AEAB,且AEBP.(1)求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值;(2)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由解:(1)因为AEAB,AEBP,所以BPAB,因为平面ABCD平面ABPE,平面ABCD平面ABPEAB,所以BP平面ABCD,又ABBC,所以直线BA,BP,BC两两垂直以B为坐标原点,分别以BA,BP,BC所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,2,0),B(0,0,0),D(2,0,1),E(2,1,0),C(0,0,1),因为BC平面ABPE,所以(0,0,1)为平面ABPE的一个法向量,设平面PCD的一个法向量为n(x,y,z),易得(2,2,1),(2,0,0),则即令y1,则z2,故n(0,1,2),设平面PCD与平面ABPE所成的二面角大小为,则|cos |,由图知,所求二面角为锐角,所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值为.(2)假设满足题意的点N存在,设(2,2,)(01),则(2,22,)由(1)知,平面PCD的一个法向量为n(0,1,2),设直线BN与平面PCD所成的角为,则sin |cos,n|,即92810,解得1或(舍去)故当点N与点D重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.- 5 -
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