（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题四 函数与导数、不等式 第19讲 导数与不等式问题练习

第19讲 导数与不等式问题1(2019启东中学检测)已知函数f(x)1，g(x)xln x.(1)证明：g(x)1.(2)证明：(xln x)f(x)1.证明：(1)g(x)，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数所以g(x)g(1)1，得证(2)f(x)1，f(x)，所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，所以f(x)f(2)1，又由(1)知xln x1，且等号不同时取得所以(xln x)f(x)1.2设函数f(x)，g(x)a(x21)ln x(aR，e为自然对数的底数)(1)证明：当x1时，f(x)0；(2)讨论g(x)的单调性；(3)若不等式f(x)1时，s(x)0，所以s(x)在(1，)上单调递增，又s(1)0，所以s(x)0，从而当x1时，f(x)0.(2)g(x)2ax(x0)，当a0时，g(x)0时，由g(x)0得x.当x时，g(x)0，g(x)单调递增综上，当a0时，g(x)在(0，)上单调递减；当a0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增(3)由(1)知，当x1时，f(x)0.当a0，x1时，g(x)a(x21)ln x0，故当f(x)0.当0a1时，g(x)在上单调递减，g0，所以此时f(x)1时，h(x)2axe1xx0，因此，h(x)在区间(1，)上单调递增，又h(1)0，所以当x1时，h(x)g(x)f(x)0，即f(x)0时，f(x)q(x)恒成立解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)exln x，所以f(1)0，f(1)e，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)(2)证明：当x0时，f(x)q(x)恒成立，等价于当x0时，xln x恒成立设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x，所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)，则h(x)，所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，所以当x0时，f(x)q(x)恒成立4已知函数f(x)xln xex1.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)证明：f(x)sin x在(0，)上恒成立解：(1)依题意得f(x)ln x1ex，又f(1)1e，f(1)1e，故所求切线方程为y1e(1e)(x1)，即y(1e)x.(2)证明：依题意，要证f(x)sin x，即证xln xex1sin x，即证xln xexsin x1.当00，xln x0，故xln xexsin x1，即f(x)1时，令g(x)exsin x1xln x，故g(x)excos xln x1.令h(x)g(x)excos xln x1，则h(x)exsin x，当x1时，exe11，所以h(x)exsin x0，故h(x)在(1，)上单调递增故h(x)h(1)ecos 110，即g(x)0，所以g(x)在(1，)上单调递增，所以g(x)g(1)esin 110，即xln xexsin x1，即f(x)sin x.综上所述，f(x)0)(1)若函数f(x)在(1，)上是减函数，求实数a的最小值；(2)若x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)在(1，)上为减函数，所以f(x)a0在(1，)上恒成立所以当x(1，)时，f(x)max0.又f(x)a2a，故当，即xe2时，f(x)maxa，所以a0，故a，所以a的最小值为.(2)“若x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立”等价于当xe，e2时，有f(x)minf(x)maxa，当xe，e2时，有f(x)maxa，问题等价于：“当xe，e2时，有f(x)min”当a时，f(x)在e，e2上为减函数，则f(x)minf(e2)ae2，故a.当0a时，由于f(x)2a在e，e2上为增函数，故f(x)的值域为f(e)，f(e2)，即.由f(x)的单调性和值域知，存在唯一x0(e，e2)，使f(x0)0，且满足：当x(e，x0)时，f(x)0，f(x)为增函数所以f(x)minf(x0)ax0，x0(e，e2)，所以a，与0a矛盾，不合题意综上，实数a的取值范围为.- 5 -