(山东专用)2020年高考数学一轮复习 专题09 对数与对数函数(含解析)

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专题09 对数与对数函数一、【知识精讲】1.对数的概念如果axN(a0,且a1),那么x叫做以a为底N的对数,记作xlogaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质:alogaNN;logaabb(a0,且a1).(2)对数的运算法则如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN)logaMlogaN;logalogaMlogaN;logaMnnlogaM(nR);logamMnlogaM(m,nR,且m0).(3)换底公式:logbN(a,b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念:函数ylogax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,).(2)对数函数的图象与性质a10a1时,y0;当0x1时,y1时,y0;当0x0在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0,且a1)与对数函数ylogax(a0,且a1)互为反函数,它们的图象关于直线yx对称.微点提醒1.换底公式的两个重要结论(1)logab;(2)logambnlogab.其中a0,且a1,b0,且b1,m,nR.2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数ylogax(a0,且a1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),函数图象只在第一、四象限.二、【典例精练】考点一对数的运算【例1】 (1)计算:100_.(2)计算:_.【答案】(1)20(2)1【解析】(1)原式(lg 22lg 52)100lg10lg 1021021020.(2)原式1.【解法小结】1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.abNblogaN(a0,且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.考点二对数函数的图象及应用【例2】(1)函数ylg|x1|的图象是()(2)已知当0x时,有logax,则实数a的取值范围为_【答案】(1)A(2)【解析】(1)因为ylg|x1|当x1时,函数无意义,故排除B、D.又当x2或0时,y0,所以A项符合题意(2)若logax在x时成立,则0a1,且y的图象在ylogax图象的下方,作出图象如图所示由图象知 loga,所以解得a1.即实数a的取值范围是.【解法小结】1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.考点三对数函数的性质及应用角度1对数函数的性质【例31】 (2017全国卷)已知函数f(x)ln xln(2x),则()A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.yf(x)的图象关于直线x1对称D.yf(x)的图象关于点(1,0)对称【答案】C【解析】由题意知,f(x)ln xln(2x)的定义域为(0,2),f(x)lnx(2x)ln(x1)21,由复合函数的单调性知,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A,B;又f(2x)ln(2x)ln xf(x),所以f(x)的图象关于直线x1对称,C正确,D错误.角度2比较大小或解简单的不等式【例32】 (1).(2017全国卷)设x,y,z为正数,且2x3y5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x1.则xlog2t,同理,y,z.2x3y0,2x3y.又2x5z0,2x5z,3y2x5z.(2)若loga(a21)loga2a0且a1,故必有a212a,又loga(a21)loga2a0,所以0a1,a.综上,a.角度3对数型函数性质的综合应用【例33】 已知函数f(x)loga(3ax).(1)当x0,2时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)a0且a1,设t(x)3ax,则t(x)3ax为减函数,x0,2时,t(x)的最小值为32a,当x0,2时,f(x)恒有意义,即x0,2时,3ax0恒成立.32a0.a0且a1,a的取值范围是(0,1).(2)t(x)3ax,a0,函数t(x)为减函数.f(x)在区间1,2上为减函数,ylogat为增函数,a1,x1,2时,t(x)最小值为32a,f(x)最大值为f(1)loga(3a),即故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1.【解法小结】1.确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.【思维升华】1.对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b0;当a1且0b1或0a1时,logab0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定.【易错注意点】1.在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数ylogax的定义域应为(0,).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系,当底数a与1的大小关系不确定时,要分0a1两种情况讨论.2.在运算性质logaMlogaM中,要特别注意条件,在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*,且为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.三、【名校新题】1. (2019武汉月考)已知函数yloga(xc)(a,c为常数,其中a0,且a1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a1,c1B.a1,0c1C.0a1D.0a1,0c1【答案】D【解析】由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0a0,即logac0,所以0cbcB.bacC.cbaD.cab【答案】D【解析】loglog3151log35,因为函数ylog3x在(0,)上为增函数,所以log35log3log331,因为函数y在(,)上为减函数,所以ab.3.(2018张家界三模)在同一直角坐标系中,函数f(x)2ax,g(x)loga(x2)(a0,且a1)的图象大致为()【答案】A【解析】由题意,知函数f(x)2ax(a0,且a1)为单调递减函数,当0a2,且函数g(x)loga(x2)在(2,)上为单调递减函数,C,D均不满足;当a1时,函数f(x)2ax的零点x0,又g(x)loga(x2)在(2,)上是增函数,排除B,综上只有A满足.4.(2019肇庆二模)已知f(x)lg(10x)lg(10x),则()A.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是增函数B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数D.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数【答案】D【解析】由得x(10,10),且f(x)lg(100x2).f(x)是偶函数,又t100x2在(0,10)上单调递减,ylg t在(0,)上单调递增,故函数f(x)在(0,10)上单调递减.5. (2019潍坊一模)若函数f(x)axax(a0且a1)在R上为减函数,则函数yloga(|x|1)的图象可以是()【答案】D【解析】由f(x)在R上是减函数,知0a1时,yloga(x1)的图象由ylogax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确.6.(2019商丘二模)已知a0且a1,函数f(x)loga(x)在区间(,)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)loga|x|b|的图象是()【答案】A【解析】函数f(x)loga(x)在区间(,)上是奇函数,f(0)0,b1,又函数f(x)loga(x)在区间(,)上是增函数,所以a1.所以g(x)loga|x|1|,当x1时,g(x)loga(x1)为增函数,排除B,D;当0x1)的单调递增区间是_【答案】(5,)【解析】由函数f(x)loga(x24x5),得x24x50,得x5.令m(x)x24x5,则m(x)(x2)29,m(x)在2,)上单调递增,又由a1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5,)8. (2019成都七中检测)已知ab1,若logablogba,abba,则a_,b_.【答案】4,2【解析】设logbat,则t1,因为t,所以t2,则ab2.又abba,所以b2bbb2,即2bb2,又ab1,解得b2,a4.9.(2019昆明诊断)设f(x)lg是奇函数,则使f(x)0的x的取值范围是_.【答案】(1,0)【解析】由f(x)是奇函数可得a1,f(x)lg,定义域为(1,1).由f(x)0,可得01,1x0.10.(2019武汉调研)已知函数f(x)若f(2a)1,则f(a)_.【答案】-2【解析】当2a0时,f(2a)log2(1a)1.解得a,不合题意.当2a2,即a0时,f(2a)2a11,即2a2,解得a1,所以f(a)f(1)log242.11(2019日照调研)已知函数f(x)若方程f(x)a0恰有一个实根,则实数a的取值范围是_.【答案】02,)【解析】作出函数yf(x)的图象(如图所示).方程f(x)a0恰有一个实根,等价于函数yf(x)的图象与直线ya恰有一个公共点,故a0或a2,即a的取值范围是02,).12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(0)0,当x0时,f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x21)2.【解析】(1)当x0,则f(x)log(x).因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)f(x)log(x),所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42,f(x)是偶函数,所以不等式f(x21)2转化为f(|x21|)f(4).又因为函数f(x)在(0,)上是减函数,所以|x21|4,解得xln恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)由0,解得x1,函数f(x)的定义域为(,1)(1,),当x(,1)(1,)时,f(x)lnlnlnlnf(x).f(x)ln是奇函数.(2)由于x2,6时,f(x)lnln恒成立,0恒成立,x2,6,0m(x1)(7x)在x2,6上恒成立.令g(x)(x1)(7x)(x3)216,x2,6,由二次函数的性质可知,x2,3时函数g(x)单调递增,x3,6时函数g(x)单调递减,即x2,6时,g(x)ming(6)7,0m7.故实数m的取值范围为(0,7).11
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