（山东专用）2020年高考数学一轮复习 专题09 对数与对数函数（含解析）

专题09 对数与对数函数一、【知识精讲】1.对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1).(2)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(3)换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称.微点提醒1.换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab.其中a0，且a1，b0，且b1，m，nR.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数ylogax(a0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限.二、【典例精练】考点一对数的运算【例1】 (1)计算：100_.(2)计算：_.【答案】(1)20(2)1【解析】(1)原式(lg 22lg 52)100lg10lg 1021021020.(2)原式1.【解法小结】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图象及应用【例2】(1)函数ylg|x1|的图象是()(2)已知当0x时，有logax，则实数a的取值范围为_【答案】(1)A(2)【解析】(1)因为ylg|x1|当x1时，函数无意义，故排除B、D.又当x2或0时，y0，所以A项符合题意(2)若logax在x时成立，则0a1，且y的图象在ylogax图象的下方，作出图象如图所示由图象知 loga，所以解得a1.即实数a的取值范围是.【解法小结】1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.考点三对数函数的性质及应用角度1对数函数的性质【例31】 (2017全国卷)已知函数f(x)ln xln(2x)，则()A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，2)上单调递减C.yf(x)的图象关于直线x1对称D.yf(x)的图象关于点(1，0)对称【答案】C【解析】由题意知，f(x)ln xln(2x)的定义域为(0，2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2x)ln(2x)ln xf(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，C正确，D错误.角度2比较大小或解简单的不等式【例32】 (1).(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x1.则xlog2t，同理，y，z.2x3y0，2x3y.又2x5z0，2x5z，3y2x5z.(2)若loga(a21)loga2a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，a.综上，a.角度3对数型函数性质的综合应用【例33】 已知函数f(x)loga(3ax).(1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0，2时，t(x)的最小值为32a，当x0，2时，f(x)恒有意义，即x0，2时，3ax0恒成立.32a0.a0且a1，a的取值范围是(0，1).(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数.f(x)在区间1，2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1，2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1.【解法小结】1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【思维升华】1.对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b0；当a1且0b1或0a1时，logab0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定.【易错注意点】1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0a1两种情况讨论.2.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.三、【名校新题】1. (2019武汉月考)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a1，c1B.a1，0c1C.0a1D.0a1，0c1【答案】D【解析】由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a0，即logac0，所以0cbcB.bacC.cbaD.cab【答案】D【解析】loglog3151log35，因为函数ylog3x在(0，)上为增函数，所以log35log3log331，因为函数y在(，)上为减函数，所以ab.3.(2018张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)2ax，g(x)loga(x2)(a0，且a1)的图象大致为()【答案】A【解析】由题意，知函数f(x)2ax(a0，且a1)为单调递减函数，当0a2，且函数g(x)loga(x2)在(2，)上为单调递减函数，C，D均不满足；当a1时，函数f(x)2ax的零点x0，又g(x)loga(x2)在(2，)上是增函数，排除B，综上只有A满足.4.(2019肇庆二模)已知f(x)lg(10x)lg(10x)，则()A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数【答案】D【解析】由得x(10，10)，且f(x)lg(100x2).f(x)是偶函数，又t100x2在(0，10)上单调递减，ylg t在(0，)上单调递增，故函数f(x)在(0，10)上单调递减.5. (2019潍坊一模)若函数f(x)axax(a0且a1)在R上为减函数，则函数yloga(|x|1)的图象可以是()【答案】D【解析】由f(x)在R上是减函数，知0a1时，yloga(x1)的图象由ylogax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确.6.(2019商丘二模)已知a0且a1，函数f(x)loga(x)在区间(，)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)loga|x|b|的图象是()【答案】A【解析】函数f(x)loga(x)在区间(，)上是奇函数，f(0)0，b1，又函数f(x)loga(x)在区间(，)上是增函数，所以a1.所以g(x)loga|x|1|，当x1时，g(x)loga(x1)为增函数，排除B，D；当0x1)的单调递增区间是_【答案】(5，)【解析】由函数f(x)loga(x24x5)，得x24x50，得x5.令m(x)x24x5，则m(x)(x2)29，m(x)在2，)上单调递增，又由a1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，)8. (2019成都七中检测)已知ab1，若logablogba，abba，则a_，b_.【答案】4,2【解析】设logbat，则t1，因为t，所以t2，则ab2.又abba，所以b2bbb2，即2bb2，又ab1，解得b2，a4.9.(2019昆明诊断)设f(x)lg是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是_.【答案】(1，0)【解析】由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1，1).由f(x)0，可得01，1x0.10.(2019武汉调研)已知函数f(x)若f(2a)1，则f(a)_.【答案】-2【解析】当2a0时，f(2a)log2(1a)1.解得a，不合题意.当2a2，即a0时，f(2a)2a11，即2a2，解得a1，所以f(a)f(1)log242.11(2019日照调研)已知函数f(x)若方程f(x)a0恰有一个实根，则实数a的取值范围是_.【答案】02，)【解析】作出函数yf(x)的图象(如图所示).方程f(x)a0恰有一个实根，等价于函数yf(x)的图象与直线ya恰有一个公共点，故a0或a2，即a的取值范围是02，).12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)0，当x0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.【解析】(1)当x0，则f(x)log(x).因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)log(x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2转化为f(|x21|)f(4).又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得xln恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)由0，解得x1，函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，当x(，1)(1，)时，f(x)lnlnlnlnf(x).f(x)ln是奇函数.(2)由于x2，6时，f(x)lnln恒成立，0恒成立，x2，6，0m(x1)(7x)在x2，6上恒成立.令g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2，6，由二次函数的性质可知，x2，3时函数g(x)单调递增，x3，6时函数g(x)单调递减，即x2，6时，g(x)ming(6)7，0m7.故实数m的取值范围为(0，7).11