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考点规范练17三角函数的图象与性质基础巩固组1.(2017课标高考)函数f(x)=sin2x+3的最小正周期为()A.4B.2C.D.2答案C解析由周期公式T=22=.2.若函数f(x)=3sin(2x+)(0)是偶函数,则f(x)在0,上的递增区间是()A.0,2B.2,C.4,2D.34,答案B解析因为函数f(x)=3sin(2x+)(0)是偶函数,所以f(x)=3sin2x+2=3cos2x.所以由2k-2x2k可知其单调递增区间是k-2,k.又k-2,k0,k=1,即所求单调递增区间为2,.故选B.3.函数y=sin2x-3在区间-2,上的简图是()答案A解析将x=6代入到函数解析式中得y=0,可排除C,D;将x=代入到函数解析式中求出函数值为-32,可排除B,故选A.4.函数f(x)=tan2x-3的单调递增区间是()A.k2-12,k2+512(kZ)B.k2-12,k2+512(kZ)C.k-12,k+512(kZ)D.k+6,k+23(kZ)答案B解析当k-22x-3k+2(kZ)时,函数y=tan2x-3单调递增,解得k2-12x0.若f(x)f12对xR恒成立,则的最小值为.答案4解析由三角函数的性质可知,当x=12时,x+6=2k+2,=24k+4(kZ),取k=0可得的最小值为=4.能力提升组9.在函数y=cos |2x|,y=|cos x|,y=sin2x+6,y=tan2x-4中,最小正周期为的所有函数是()A.B.C.D.答案C解析可分别求出各个函数的最小正周期.y=cos|2x|=cos2x,T=22=;T=;T=22=;T=2.综上,知最小正周期为的所有函数为.故选C.10.若函数f(x)=sin x(0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则=()A.35B.12C.32D.1答案C解析y=sinx(0)的图象过原点,当0x2,即0x2时,y=sinx是增函数.当2x32,即2x32时,y=sinx是减函数.由y=sinx(0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减知,2=3,故=32.11.已知函数f(x)=3sin(3x+),x0,则y=f(x)的图象与直线y=2的交点个数最多有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案C解析令f(x)=3sin(3x+)=2,得sin(3x+)=23(-1,1),又x0,3x0,3,3x+,3+;根据正弦函数的图象与性质,可得该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=2的交点最多有4个.故选C.12.(2018浙江杭州二中期末)若函数y=f(x)同时具有下列三个性质:最小正周期为;图象关于直线x=3对称;在区间-6,3上是增函数.则y=f(x)的解析式可以是()A.y=sinx2+6B.y=cos2x+3C.y=cos2x-6D.y=sin2x-6答案D解析由于函数y=sinx2+6的最小正周期为212=4,不满足条件,故排除A;由于当x-6,6时,2x+30,23,故y=cos2x+3是减函数,故排除B;由于当x=3时,y=cos2x-6=0,故它的图象不关于直线x=3对称,故排除C;由于函数y=sin2x-6的最小正周期为22=,满足条件;当x=3时,函数取得最大值,图象关于直线x=3对称,故满足条件;在-6,3上,2x-6-2,2,函数为增函数,故满足条件;综上可得,函数y=sin2x-6满足所给的三个条件,故选D.13.(2017浙江宁波二模)已知函数f(x)=sin xcos 2x,则下列关于函数f(x)的结论中,错误的是()A.最大值为1B.图象关于直线x=-2对称C.既是奇函数又是周期函数D.图象关于点34,0中心对称答案D解析函数f(x)=sinxcos2x,当x=32时,f(x)取得最大值为1,故A正确;当x=-2时,函数f(x)=1,为函数的最大值,故图象关于直线x=-2对称;故B正确;函数f(x)满足f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sinxcos2x=-f(x),故函数f(x)为奇函数,再根据f(x+2)=sin(x+2)cos-2(x+2)=sinxcos2x,故f(x)的周期为2,故C正确;由于f32-x+f(x)=-cosxcos(3-2x)+sinxcos2x=cosxcos2x+sinxcos2x=cos2x(sinx+cosx)=0不一定成立,故f(x)图象不一定关于点34,0中心对称,故D不正确,故选D.14.(2018浙江金华十校4月模拟)已知函数f(x)=4sin xsinx+3,则函数f(x)的最小正周期T=,在区间0,2上的值域为.答案(0,3解析函数的解析式f(x)=4sinxsinx+3=2sinx(3cosx+sinx)=23sinxcosx+2sin2x=3sin2x-cos2x+1=2sin2x-6+1,函数f(x)的最小正周期T=22=;x0,2,2x-6-6,56,当2x-6=2,即x=3时,f(x)max=2+1=3,当2x-6=-6,即x=0时,f(x)min=-1+1=0,所以值域为(0,3.15.已知函数f(x)=sin x最小正周期为,其图象向右平移02个单位长度后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=3,则等于.答案6解析由题意可知g(x)=sin(2x-2).因为|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=2+2k(kZ),2x2-2=-2+2m(mZ),则x1-x2=2-+(k-m),又|x1-x2|min=3,所以当k-m=0,即k=m时,又02,则有2-=3,解得=6.16.已知函数f(x)=sin2x+3,对任意的x1,x2,x3,且0x1x2x3,都有|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|m成立,则实数m的最小值为.答案3+32解析函数f(x)=sin2x+3,其中x0,2x+33,73,-1f(x)1;又对任意的x1,x2,x3,且0x1x2x3,都有|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|m成立,不妨令f(x2)=-1,则当f(x1)=1,f(x3)=32时,|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|取得最大值为2+1+32=3+32;实数m的最小值为3+32.故答案为3+32.17.(2018浙江嵊州高三期末)已知函数f(x)=2sin xcosx-3+cos x,x0,2.(1)求f6;(2)求f(x)的最大值与最小值.解(1)因为cos-6=32,sin6=12,所以f6=21232+32=3.(2)f(x)=2sinxcosx-3+cosx=2sinx12cosx+32sinx+cosx=32sin2x+32(1-cos2x)=3sin2x-6+32.因为x0,2,所以2x-6-6,56.又因为y=sinx在区间-6,2上单调递增,在区间2,56上单调递减.所以,当2x-6=2,即x=3时,f(x)有最大值332;当2x-6=-6,即x=0时,f(x)有最小值0.18.(2018浙江台州高三调研)已知函数f(x)=asin xcos x-b(cos2x-sin2x)(xR,a,b为常数),且f2=34,f12=-14.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)当x-4,4时,求函数f(x)的最大值与最小值.解(1)由题意得,f(x)=asinxcosx-b(cos2x-sin2x)=12asin2x-bcos2x,由f2=34,f12=-14,得b=34,14a-32b=-14,故a=12,b=34,f(x)=14sin2x-34cos2x=12sin2x-3,当2k-22x-32k+2,kZ时,可得k-12xk+512,kZ,f(x)的单调递增区间为k-12,k+512(kZ).(2)由(1)得f(x)=12sin2x-3,由-4x4,得-562x-36.-1sin2x-312.故f(x)在-4,4上的最大值为14,最小值为-12.7
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