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专题12 导数概念及其运算一、【知识精讲】1.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0).2.函数yf(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f(x)称为函数yf(x)在开区间内的导函数.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.微点提醒1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、【典例精练】考点一导数的运算角度1根据求导法则求函数的导数例1. 分别求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)f(x)ln .【解析】(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex.(2)因为yx31，所以y3x2.(3)因为yln ln，所以y(12x).角度2抽象函数的导数计算例2. (2019福州联考)已知函数f(x)的导函数是f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln ，则f(1)()A.e B.2 C.2 D.e【答案】B【解析】由已知得f(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，解得f(1)1，则f(1)2f(1)2.【解法小结】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.考点二导数的几何意义角度1求切线方程例3. (2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y2xB.yxC.y2xD.yx【答案】D【解析】因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以a10，则a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.角度2求切点坐标例4.)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.【答案】(1，1)【解析】函数yex的导函数为yex，曲线yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数为y，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2，由题意知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1，1).角度3求参数的值或取值范围例5. (2018全国卷)曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为_.【答案】y2x.【解析】由题意得y.在点(0，0)处切线斜率ky|x02.曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y02(x0)，即y2x.例6.(2016山东高考)若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当时，有，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A【解法小结】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.【思维升华】1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.【易错注意点】1.求导常见易错点：公式(xn)nxn1与(ax)axln a相互混淆；公式中“”“”号记混，如出现如下错误：，(cos x)sin x；复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.三、【名校新题】1.(2018日照质检)已知f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于()A.e2B.e C.D.ln 2【答案】B【解析】f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.2 (2019郑州月考)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A.3 B.2C.1 D.【答案】A【解析】设切点的横坐标为x0(x00)，曲线y3ln x的一条切线的斜率为，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.3.（2019开封市高三定位考试）曲线y=ex+1在x=1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积是（ ）A. 12e B. e2 C. 2e2 D.94e2【答案】A【解析】由y=ex+1，得y=ex,曲线y=ex+1在x=1处的切线斜率k=e,所以曲线y=ex+1在x=1处的切线方程是y-(e+1)=e(x-1),令x=0,则y=1,令y=0,得x=-1e,所以所求围成的三角形面积为1211e=12e.故选A4.(2019合肥一模)函数f(x)xg(x)的图象在点x2处的切线方程是yx1，则g(2)g(2)()A.7 B.4 C.0 D.4【答案】A【解析】f(x)xg(x)，f(x)1g(x)，又由题意知f(2)3，f(2)1，g(2)g(2)2f(2)1f(2)7.5.已知e为自然对数的底数，曲线yaexx在点(1，ae1)处的切线与直线2exy10平行，则实数a()A.B.C.D.【答案】B【解析】yaex1，在点(1，ae1)处的切线的斜率为y|x1ae1，又切线与直线2exy10平行，ae12e，解得a.6.（2019福建五校第二次联考）已知函数fx=ln-x+1,x0)既在曲线yxln x上又在直线ykx2上，kx02x0ln x0，kln x0，则ln x0ln x01，x02，kln 21.8.(2018深圳二模)设函数f(x)xb，若曲线yf(x)在点(a，f(a)处的切线经过坐标原点，则ab()A.1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由题意可得，f(a)ab，f(x)1，所以f(a)1，故切线方程是yab(xa)，将(0，0)代入得ab(a)，故b，故ab2.9.（2019荆州市八校联考）已知函数 ，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】，在单调递减， 设设则在上单调递减则对恒成立 则对恒成立 则解之得或 又，所以10（2019济南市三模）已知函数，若对任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是【答案】m12【解析】记的最大值为，则由题意知，. 所以 .借助纵向距离法（切比雪夫最佳逼近线）记，则对于，可以看作横坐标相同时，与图像上点的纵向距离（或铅锤距离）.记连接，则图中直线的斜率为，则直线的方程为;直线与直线平行，且与切于点，由当直线与直线平行且与两直线距离相等时，即恰好处于两直线正中间的位置时，与图像上点的纵向距离的最大值最小.此时,另：11. (2019东北三省四校联考)已知曲线f(x)xb(x0)在点(1，f(1)处的切线方程为y2x5，则ab_.【答案】-8【解析】f(x)1，f(1)1a，又f(1)1ab，曲线在(1，f(1)处的切线方程为y(1ab)(1a)(x1)，即y(1a)x2ab，根据题意有解得ab178.12.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)_.【答案】【解析】因为f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)43f(2)3f(2)，所以f(2).13.已知函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为y2x1，则曲线g(x)x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为_.【答案】6xy50【解析】由题意，知f(2)2213，g(2)437，g(x)2xf(x)，f(2)2，g(2)2226，曲线g(x)x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为y76(x2)，即6xy50.14.(2019西安一模)定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f(x)f(x).定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f(x)0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)x3x21在区间D上为凹函数，则x的取值范围是_.【答案】【解析】因为f(x)x3x21，因为f(x)3x23x，f(x)6x3，令f(x)0，解得x，故x的取值范围是.15（2019江西七校第一次联考）（本小题满分12分）已知函数f（x）=x2axalnx（aR）（）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值（）在（）的条件下，求证：f（x）+4x+【解析】（1）解：，由题意可得f（1）=0，解得a=1；经检验，a=1时f（x）在x=1处取得极值，所以a=1（2）证明：由（1）知，f（x）=x2xlnx令，由，可知g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数，所以g（x）g（1）=0，所以成立16.（2019武汉部分高中联考）.已知函数.（1）若函数在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）,函数在处的切线与直线平行，,.（2）对于任意，恒成立，即对于任意，恒成立，令，令，得，令，得，函数在区间上的最大值，即实数的取值范围是.11
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