(山东专用)2020年高考数学一轮复习 专题12 导数的概念及其运算(含解析)

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专题12 导数概念及其运算一、【知识精讲】1.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义:称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数,记作f(x0)或y|xx0,即f(x0).(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0,f(x0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为yy0f(x0)(xx0).2.函数yf(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,函数f(x)称为函数yf(x)在开区间内的导函数.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0,a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x),g(x)存在,则有:(1)f(x)g(x)f(x)g(x);(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x);(3)(g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux.微点提醒1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值;(f(x0)是函数值f(x0)的导数,且(f(x0)0.2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.二、【典例精练】考点一导数的运算角度1根据求导法则求函数的导数例1. 分别求下列函数的导数:(1)yexln x;(2)yx;(3)f(x)ln .【解析】(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex.(2)因为yx31,所以y3x2.(3)因为yln ln,所以y(12x).角度2抽象函数的导数计算例2. (2019福州联考)已知函数f(x)的导函数是f(x),且满足f(x)2xf(1)ln ,则f(1)()A.e B.2 C.2 D.e【答案】B【解析】由已知得f(x)2f(1),令x1得f(1)2f(1)1,解得f(1)1,则f(1)2f(1)2.【解法小结】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.2.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.3.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.考点二导数的几何意义角度1求切线方程例3. (2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y2xB.yxC.y2xD.yx【答案】D【解析】因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数,所以a10,则a1,所以f(x)x3x,所以f(x)3x21,所以f(0)1,所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.角度2求切点坐标例4.)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为_.【答案】(1,1)【解析】函数yex的导函数为yex,曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0,y0)(x00),函数y的导函数为y,曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2,由题意知k1k21,即11,解得x1,又x00,x01.又点P在曲线y(x0)上,y01,故点P的坐标为(1,1).角度3求参数的值或取值范围例5. (2018全国卷)曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_.【答案】y2x.【解析】由题意得y.在点(0,0)处切线斜率ky|x02.曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y02(x0),即y2x.例6.(2016山东高考)若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知,存在两点处的切线斜率的积,即导函数值的乘积为负一.当时,有,所以在函数图象存在两点使条件成立,故A正确;函数的导数值均非负,不符合题意,故选A【解法小结】1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:切点处的导数是切线的斜率;切点在切线上;切点在曲线上.【思维升华】1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点,则可通过点斜式直接写方程,若已知点不是切点,则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时,一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.【易错注意点】1.求导常见易错点:公式(xn)nxn1与(ax)axln a相互混淆;公式中“”“”号记混,如出现如下错误:,(cos x)sin x;复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时,把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.三、【名校新题】1.(2018日照质检)已知f(x)xln x,若f(x0)2,则x0等于()A.e2B.e C.D.ln 2【答案】B【解析】f(x)的定义域为(0,),f(x)ln x1,由f(x0)2,即ln x012,解得x0e.2 (2019郑州月考)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A.3 B.2C.1 D.【答案】A【解析】设切点的横坐标为x0(x00),曲线y3ln x的一条切线的斜率为,y,即,解得x03或x02(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3.3.(2019开封市高三定位考试)曲线y=ex+1在x=1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积是( )A. 12e B. e2 C. 2e2 D.94e2【答案】A【解析】由y=ex+1,得y=ex,曲线y=ex+1在x=1处的切线斜率k=e,所以曲线y=ex+1在x=1处的切线方程是y-(e+1)=e(x-1),令x=0,则y=1,令y=0,得x=-1e,所以所求围成的三角形面积为1211e=12e.故选A4.(2019合肥一模)函数f(x)xg(x)的图象在点x2处的切线方程是yx1,则g(2)g(2)()A.7 B.4 C.0 D.4【答案】A【解析】f(x)xg(x),f(x)1g(x),又由题意知f(2)3,f(2)1,g(2)g(2)2f(2)1f(2)7.5.已知e为自然对数的底数,曲线yaexx在点(1,ae1)处的切线与直线2exy10平行,则实数a()A.B.C.D.【答案】B【解析】yaex1,在点(1,ae1)处的切线的斜率为y|x1ae1,又切线与直线2exy10平行,ae12e,解得a.6.(2019福建五校第二次联考)已知函数fx=ln-x+1,x0)既在曲线yxln x上又在直线ykx2上,kx02x0ln x0,kln x0,则ln x0ln x01,x02,kln 21.8.(2018深圳二模)设函数f(x)xb,若曲线yf(x)在点(a,f(a)处的切线经过坐标原点,则ab()A.1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由题意可得,f(a)ab,f(x)1,所以f(a)1,故切线方程是yab(xa),将(0,0)代入得ab(a),故b,故ab2.9.(2019荆州市八校联考)已知函数 ,在函数图象上任取两点,若直线的斜率的绝对值都不小于,则实数的取值范围是()ABCD【答案】B【解析】,在单调递减, 设设则在上单调递减则对恒成立 则对恒成立 则解之得或 又,所以10(2019济南市三模)已知函数,若对任意的实数,总存在,使得成立,则实数的取值范围是【答案】m12【解析】记的最大值为,则由题意知,. 所以 .借助纵向距离法(切比雪夫最佳逼近线)记,则对于,可以看作横坐标相同时,与图像上点的纵向距离(或铅锤距离).记连接,则图中直线的斜率为,则直线的方程为;直线与直线平行,且与切于点,由当直线与直线平行且与两直线距离相等时,即恰好处于两直线正中间的位置时,与图像上点的纵向距离的最大值最小.此时,另:11. (2019东北三省四校联考)已知曲线f(x)xb(x0)在点(1,f(1)处的切线方程为y2x5,则ab_.【答案】-8【解析】f(x)1,f(1)1a,又f(1)1ab,曲线在(1,f(1)处的切线方程为y(1ab)(1a)(x1),即y(1a)x2ab,根据题意有解得ab178.12.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x,则f(2)_.【答案】【解析】因为f(x)x23xf(2)ln x,所以f(x)2x3f(2),所以f(2)43f(2)3f(2),所以f(2).13.已知函数yf(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为y2x1,则曲线g(x)x2f(x)在点(2,g(2)处的切线方程为_.【答案】6xy50【解析】由题意,知f(2)2213,g(2)437,g(x)2xf(x),f(2)2,g(2)2226,曲线g(x)x2f(x)在点(2,g(2)处的切线方程为y76(x2),即6xy50.14.(2019西安一模)定义1:若函数f(x)在区间D上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在区间D上也可导,则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数,记作f(x)f(x).定义2:若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正,即f(x)0恒成立,则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)x3x21在区间D上为凹函数,则x的取值范围是_.【答案】【解析】因为f(x)x3x21,因为f(x)3x23x,f(x)6x3,令f(x)0,解得x,故x的取值范围是.15(2019江西七校第一次联考)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2axalnx(aR)()若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值()在()的条件下,求证:f(x)+4x+【解析】(1)解:,由题意可得f(1)=0,解得a=1;经检验,a=1时f(x)在x=1处取得极值,所以a=1(2)证明:由(1)知,f(x)=x2xlnx令,由,可知g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数,所以g(x)g(1)=0,所以成立16.(2019武汉部分高中联考).已知函数.(1)若函数在点处的切线与直线平行,求实数的值;(2)若对于任意,恒成立,求实数的取值范围.【解析】(1),函数在处的切线与直线平行,,.(2)对于任意,恒成立,即对于任意,恒成立,令,令,得,令,得,函数在区间上的最大值,即实数的取值范围是.11
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