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考前强化练6解答题组合练B1.(2019山东临沂高三三模,文)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin(B+C)+2cos2+Bcos C=0.(1)求证:B=C;(2)若cos A=35,ABC的外接圆面积为254,求ABC的周长.2.ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosCsinB=bsinB+ccosC.(1)求角B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.3.(2019黑龙江哈尔滨三中高三四模,理19)2019年4月,甲、乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考,现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析,数据统计显示,考生的数学成绩X服从正态分布N(110,144),从甲、乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷,并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图:(1)试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数;(2)若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀,根据茎叶图中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.100的前提下认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关?(3)从所有参加此次联考的学生中(人数很多)任意抽取3人,记数学成绩在134分以上的人数为,求的数学期望.附:若随机变量X服从正态分布N(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2x+2)=0.954 4,P(-30时,讨论函数F(x)=32x2-(6+a)x+2af(x)的单调性;(2)设函数g(x)=f(x)f(x),若斜率为k的直线与函数y=g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,证明:x11kx2.6.(2019山东栖霞高三模拟,理21)设函数f(x)=xln x-aex,其中aR,e是自然对数的底数.(1)若f(x)在(0,+)上存在两个极值点,求a的取值范围;(2)若a2e2,证明:f(x)0.参考答案考前强化练6解答题组合练B1.(1)证明sin(B+C)+2cos2+BcosC=0,sin(B+C)-2sinBcosC=0.sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=0.cosBsinC-sinBcosC=0.sin(B-C)=0.B=C.(2)解设ABC的外接圆半径为R,由已知得R2=254,R=52.cosA=35,0A,sinA=45.a=2RsinA=4.B=C,b=c.由a2=b2+c2-2bccosA,得16=2b2-65b2,解得b=25,a+b+c=45+4.ABC的周长为45+4.2.解(1)利用正弦定理,得sinAcosCsinB=1+sinCcosC,即sin(B+C)=cosCsinB+sinCsinB,sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB+sinCsinB,cosBsinC=sinCsinB,又sinB0,tanB=1,B=4.(2)由(1)得B=4,由余弦定理可得:b2=a2+c2-2accosB,则有2=a2+c2-2ac,即有2+2ac=a2+c2,又由a2+c22ac,则有2+2ac2ac,变形可得:ac22-2=2+2,则S=12acsinB=24ac2+12.即ABC面积的最大值为2+12.3.解(1)由茎叶图可知:甲校学生数学成绩的中位数为128+1352=131.5,乙校学生数学成绩的中位数为128+1292=128.5,所以比较这40份试卷的成绩,甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高.(2)由题意,作出22列联表如下:甲校乙校合计数学成绩优秀10717数学成绩不优秀101323合计202040计算得K2的观测值k=40(1013-107)2202017230.92072.706,所以在犯错误的概率不超过0.100的前提下认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关.(3)因为XN(110,144),所以=110,=144=12,所以P(86134)=1-0.95442=0.0228,由题意可知B(3,0.0228),所以E=30.0228=0.0684.4.解(1)由数据可知,2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀,所以X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C50C43C93=121,P(X=1)=C51C42C93=514,P(X=2)=C52C41C93=1021,P(X=3)=C53C40C93=542,故X的分布列为:X0123P1215141021542E(X)=0121+1514+21021+3542=53.(2)因为x6=x=7,b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,所以去掉2015年的数据后不影响b的值,所以b=i=19xiyi-9xyi=19xi2-9x2=434.1-976.2509-9720.64.去掉2015年数据后,x=7,y=96.2-7.88=6,所以a=y-bx=6-43.56871.52,故回归方程为:y=0.64x+1.52.5.(1)解F(x)=32x2-(6+a)x+2alnx,F(x)=3x-(6+a)+2ax=(3x-a)(x-2)x(其中x0).令F(x)=0可得,x=2或x=13a.当13a2即a6时,当x13a,+(0,2)时,F(x)0,函数在(0,2),13a,+内单调递增,当2x13a时,F(x)0,函数在2,13a内单调递减.当a=6时,F(x)0在(0,+)内恒成立,即F(x)在(0,+)上单调递增.当013a2即0a0,函数在0,13a,(2,+)内单调递增,在13a,2内单调递减.(2)证明g(x)=f(x)f(x)=xlnx,则g(x)=1+lnx.故k=lnx2-lnx1x2-x1,x11kx2x1x2-x1lnx2-lnx1x21x2x1-1lnx2x11),要证明x11kx2,只要证1t-1lnt1可知lnt0,故只要证明lntt-11).设h(t)=t-1-lnt,t1,则h(t)=1-1t0,故h(t)在(1,+)上单调递增,h(t)h(1)=0,即lnt1,则m(t)=lnt0,故m(t)在(1,+)上单调递增.m(t)m(1)=0,即t-1tlnt.综上可得,x11k0,f(x)=lnx+1-aex=0,f(x)在(0,+)上存在两个极值点等价于f(x)=0在(0,+)有两个根,由lnx+1-aex=0可得,a=lnx+1ex.令g(x)=lnx+1ex,则g(x)=1x-lnx-1ex.令h(x)=1x-lnx-1,可得h(x)=-1x2-1x.当x0时,h(x)0,g(x)0,g(x)单调递增;当x(1,+)时,h(x)0,g(x)0,g(x)单调递减;所以x=1是g(x)的极大值也是最大值,又当x0时,g(x)-,当x+,g(x)大于0趋向于0,要使f(x)=0在(0,+)有两个根,只需0ag(1),所以a的取值范围为0a1e.(2)证明f(x)0即xlnx-aex0,等价于lnx-aexx0.令F(x)=lnx-aexx,F(x)=1x-aexx-aexx2=x-a(x-1)exx2.当00,单调递增,所以F(x)F(1)=-ae1时,F(x)=-a(x-1)x2ex-xa(x-1),令G(x)=ex-xa(x-1),G(x)=ex+1a(x-1)20.又G(2)=e2-2a=ae2-2a0a2e2,取m(1,2),且使ma(m-1)e2,即1mae2ae2-1,则有G(m)=em-ma(m-1)e2-e2=0.因为G(m)G(2)0,故F(x0)在(1,2)内为增函数,所以F(x0)F(2)=ln2-ae22ln2-10a2e2.综上,当a2e2时,总有f(x)0.14
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