二维随机变量

第四章 随机向量1 二维随机变量及其分布在实际河题中，有根多随桩现象，往往需要引进两个+ 三个或更多个变量来描述，为此，有必婆研寃多维随机变 量.本节主要对二维随机变量展开讨论，至于二维以上情形 可以类推.1.二址随机变量及淇分布定义设随机试验的样本空间为0, X和了是定义在Q上的两 个随机变显，我们称向量（枚了为二维随机变*或二维随机向量.2定义：FO, y=ygy_8v十8, 8yv + co）称为（EF）的分布函数，或称X与F的联合分布函数.如果（AY）看诫是平而！:的诙机点，則分布函数Fdj）表示点（丄丫）落在无限的矩形区域* XXO -G3Yr内的概率,容易看出随机点a, 丫）落在建形域1 yxw乩VYWF的概率为=F科鸟一 F （“孙 b2y F（如,tfj） 4- F二维随机变量的分布函数fosr有下列诸条性质；汁 0F（x,2对尤和y分别是草调不减的即对任意的儿若曲V叼，则F（g J） F （x2, J） j 对任盍的勺若儿的所有可能取的值是有限个或 可列无限多个数俎，则称龙匕）为二维离散型随机变量.n iei “ -i设（X, 了）是二维离敌型随机变量，它的所有可能取值 为（叭，）,（仁）=1,氛儿 其取值规律记为PX -Xit F = yj=p 爪（j, J = lr 2,）则称 P-X=xi9 Y = yj pij （i3 jl, 2,、为（天 的分布律.分布律常用表格形式表达，其形式为例1设随机变量y只能取一1,0), co, oT (0f 1三组数*且取这些数对的概率分别是*，吉和右试 用表格形式列出(X, IO的分布律.例2袈中有5个同样大小的球，2个徐有白色，3个 涂有红色，现进行有放回地与无放回地抽球两次，每次抽一 只，定义随机变量v r0 若第一次抽到红球I若第一次抽到白球625PX = 1 尸Y 1 = =A5 525其表格形式为YaX 、1、0962525164J-2525无啟回地抽取，其分布律为2 = 64 2QY =1 =*=【例】从1,2, 3, 4四个整数中随机地取一个，记所取的数为X,再从1到X中随机地取一个，记所取的数为儿求兀丫的分 布律.解 显然X, 丁均为离散型随机变量，它们的可能取值均为1,2,3,4,当 iVj 时，Pi f = PXifY=i = 0.当3也p.l. = pX-/JY = j = PX=O*Py-/i=O_ 1 1 _ 1I4 i 41(XY)的分布律：12341丄 -CJ024J0S吉F言0ji1J416i庁1616三二维连续型随机变量.定义：设F（勺为二维随机变量4（2）为平面上由x + y =1, 2）,2 14图炉埠解 Pg y) Z)J = F(1, 3)协,ydxdyy)dxdy解例4设fK, Y的密度函数为心35心5其它求常数G (2)分布函数M F落在三角世区 域Q0,诊0小勺-脑內的概率(图216.(“由密度函数性质(刃f+)J J W叫刖=1也就是由此求得c = l其它总)(1 国7),戈0,y0其它(3) F(Xf Y) (? =Jj/(vVj y)dxdy r i 2.7*=J 严|=：(茁虫一沪 Y)?X(l-tr1 严=o 3996二维连燥型随机娈量常见的分布 有均匀分布和正态并布.1二维均匀分布P设G是平面上面积为zz(0zj+oo)的区域，称二维随机向 *(X,K)服从G上的均匀分布寸如果F(X,n&G) = l,且CC 刀取值属于G之任何部分4(4是G的子区域)曲概率与A的面 积戒正比冬这时CVJO称为二维均匀分布随机向量.均匀分布随机向量(XY)的联合密度为g 刃 WGt0, 其它.2二维正态分布:如果f=(x,n的密度函数2罰 g /1(其中一oc0*%0冬 |1 是 5 个参数)则称服从二维正态分布(或称为二维正态分布 随机向量儿称护/为二维正态密度.边缘分布通过上边的讨论，不难看出，二维随机变量的每-个分 量又都是j维随机变量，它们的分布函数当然是一继的，文 由于X, F柞为一个整休又有联合分布，那么分量的分布 与联合分布必然存在某种联系，这一点表现出分量分布与前 边所讲的i维分布不完全棚同扌于是引入边缘分布槪念.1离散型随机变罐的边缘分布设（X, 的联合分布律为円X/ =超=如（4可知X的分布律为刀如，山1, 2, + = i爾样，卩的分布律为尹=0, = 12户J r厶S= I/（x, y）d c/x,显然关于x的边缘分布函数Fx3是连绫型的，其密度 函数为同理卜g人（*）=jg y）dx-是关于F的边缘密度函数当已知二维连续型随机向量（x,y）的分布密度沪注）时，求关于X和关于Y的边缘分布密度时，须计算积分加（文）=J* * E_上口卫丫）=沪0疗）山rJ i UQ当的表达式分区域给出，并且在某些区域上讥心丁）=0,为了计算积分愕-r k血(疋)=,J亠El首先要根据风的表达式，确定工的取值的某些范围在这些 范围内丫对任意，有林 2=。,于是，当工在这些范围内取值时 払(戈)=0在这些范围之外取值时，把工视为常数勒确宦$的取 值范围*使从而积分化为在上述的取值范围内的积分一般，对y积分的上.下限可能 是工的函数，计算 + CUPy(y)=J E的方法与Pa 上服从 肉匀分布，求(D关于(X, F)的联合分布密度函数，关 于X和关于V的边缘密度函数.密度函数为g力 G其它解(1) G的面积为S(G=1,因此得(X, F)的联合(2)先求关于X的边缘密度函数， 当戈W0或x2时，显絹几(Q=(b0 旳 + I ldy0J j+ 8尸OJy 1i - z1 一今，Cx20 , 其它同理求得关于V的边缘分布密度函数从而fx（就）=2(1-1/), 0pl0 ,其它例 8】P109 例 17例7设（X, F服从二维正态分布，它的密度函数为5 y）=爲不士書F曲卜3订亠込二121 _ 2q（加一卩1（劉1他0LJ+护求关于X与关于F的边缰密度函数.解令3y=叭型二如=+ pg ydy =亠B+ -ffi1 r 则称随机变量不与F相互独立.利用事杵的湘互独立性定义及分布函数与密度函数间的 关系，可以推岀随机娈量相互独立性有如下等价关系工(1)若(X, F)是离散型随机变量，X与F相互独立的 充分必要条件是，对X,卩的所有可能取值(门如都有（2）若（X,卩）是连续型随机变量，则x与y相互独立 的充分必要条件是，对一切的欠，fa、!/)fyty)下面给出（2）的证明羊 如果X、F相互独立，则由yfg U)dxdyfx(x)dx ”-八、.这说明X、卩相互独立【注意】（i）分布（分布密度）求岀关于x的边缘分布（边缘分布密度和关于y的边绿分布（边缘分布密度几再确定其独立性.）联令不能决定联合密度，但当xty相互独立时,两个边缘密度 林心 和仙（W的乘积就是联合密度，也就是说当X弄独立时+边缘密 度也能确定联合密度*（3）由例7知，二维正态分布，f （x，y）丰 fx（x）小），（p 主0）若（X, F）服从二维正态分布，则它们相互独立的充要条件是p=0.例8设(X. F)的联合分布律为,r220120220220202020何X与卩是否相互独立?p = p p(i, j = 123)iji g gjX , Y 是相互独立的9证明例6审两随机变量不相互独立. 由例6知* 1 g #) G0,其它刘)=扛5屮-手02b 其它12OFJB X与Y的边缘分布函数是.I一旷xw, jtf0 fl ?x00 yQ对一切的兀，射都有Fg =Fk3F工3 故X与F相互独立.J20 = X120P1z120=：1-?412031-/J独立性的概念是由实际问题中提珀来的，在独立的情淤 下，边缘分布唯一决定联合分布，这就將二维的问题化为一 维问题，使问题简单化了，因此独立性的概念是非常重要的 概念.【例12】已知X, F独立同分布，其概率密度为/处x0/）（%） = 0加石0试写出（X, Y）的联合概率密度。六习题：1 课外：-1,(补充)求概率 P(1 - X - 2，3 Y 0 肌，坯）=试问半 I x, X*是否相互独立？ 先求岀X的边缘概率常度，对于轨A0,1O X30j.分别有 00f r-(X1 + 2JC1 + 3JCS),(_J 6edxidjc3=e0 0所以2e岛3）= 2X1P 3 （肌）=0xi 0xi 0jfi0Xi WOje$0 心WO显然.对一切Xi，畑肌皆有咸立.故X“ Xi. X相互独立.